Cálculo del vector unitario

Imagina que tienes un vector \(\vec{v}\) y que, por alguna oscura razón, quieres conseguir otro vector que tenga la misma dirección y el mismo sentido que \(\vec{v}\), pero necesitas que este vector tenga módulo \(1\). Por ejemplo, si tienes un de módulo \(3\), ¿qué harías para conseguir un vector de su misma dirección y sentido pero cuyo módulo sea \(1\), en lugar de \(3\)?
Si recuerdas el significado del producto de un escalar por un vector la manera de conseguirlo es sencilla: multiplica \(\vec{v}\) por \(\frac13\). Dicho de otra manera, divide el vector \(\vec{v}\) entre \(3\) (su módulo), y problema resuelto. Este vector unitario en la dirección y sentido de \(\vec{v}\) lo representamos como \(\vec{u}_{\vec{v}}\).

Un vector con la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\), pero de módulo \(1\).

Podemos generalizar el razonamiento anterior de la siguiente manera: para obtener un vector unitario en la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\) hay que dividir \(\vec{v}\) entre su módulo. Es decir:

\[\vec{u}_{\vec{v}}=\frac{\vec{v}}{v}\]

Esta expresión también la podemos escribir así:

\[\vec{v}=v \cdot \vec{u}_{\vec{v}}\]

Es decir, cualquier vector \(\vec{v}\) se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Ejemplo
Halla el vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que el vector \(\vec{v}=(4,-3)\).

Solución:
Primero calculamos el módulo de \(\vec{v}\):

\[v=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5\] El vector unitario se obtiene dividiendo \(\vec{v}\) entre su módulo \(v\) o, lo que es lo mismo, multiplicando \(\displaystyle \frac1v\) por \(\vec{v}\):

\[\vec{u}_{\vec{v}}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac1v \cdot \vec{v}=\frac15 \cdot (4,-3)=\left( \frac{4}{5},-\frac{3}{5} \right)\]

Vector en la dirección de un vector unitario

Podemos también razonar a la inversa: si tenemos un vector unitario y lo multiplicamos por un número, ¿qué se obtiene? Fíjate en estos ejemplos:

Si el vector unitario \(\vec{u}\) se multiplica por \(3\), el vector resultante tiene módulo \(3\) y la misma dirección y sentido que \(\vec{u}\). Si el vector unitario \(\vec{u}\) se multiplica por \(-2\), el vector resultante tiene módulo \(2\), la misma dirección que \(\vec{u}\) y sentido contrario.

Recordando de nuevo qué quiere decir el producto de un escalar por un vector, y teniendo en cuenta que \(\vec{u}\) es un vector unitario, podemos concluir lo siguiente:

• El vector \(3 \cdot \vec{u}\) es un vector con la misma dirección y sentido que \(\vec{u}\), y cuyo módulo es \(3\).
• El vector \(-2 \cdot \vec{u}\) es un vector que tiene la misma dirección que \(\vec{u}\), tiene sentido contrario a \(\vec{u}\), y su módulo es \(2\).

Es decir, cuando multiplicamos un vector unitario \(\vec{u}\) por un número \(k\), el vector que se obtiene tiene las siguientes características:

• Su módulo es \(|k|\).
• Su dirección es la misma que la de \(\vec{u}\).
• Su sentido es el mismo que el de \(\vec{u}\) si \(k>0\), y opuesto si \(k<0\).

Ejemplo
Halla un vector \(\vec{w}\) de módulo \(2\) que tenga la misma dirección y sentido que el vector \(\vec{v}=(1,-2)\).

Solución:
El módulo de \(\vec{v}\) es: \[v=\sqrt{1^2+(-2)^2}=\sqrt5\]

Hallamos el vector unitario en la misma dirección y sentido que \(\vec{v}\):

\[\vec{u}_{\vec{v}}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac1v \cdot \vec{v}=\frac{1}{\sqrt5} \cdot (1,-2)=\left( \frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5} \right)\]

Como el vector que se pide tiene el mismo sentido que \(\vec{v}\) y su módulo es \(2\), simplemente tenemos que multiplicar el vector unitario \(\vec{u}_{\vec{v}}\) por \(2\):

\[\vec{w}=2 \cdot \vec{u}_{\vec{v}}=2 \cdot \left( \frac{1}{\sqrt5},-\frac{2}{\sqrt5} \right) = \left( \frac{2}{\sqrt5},-\frac{4}{\sqrt5} \right)\]

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