Cálculo del vector unitario

Imagina que tienes un vector $\overrightarrow{v}$ y que, por alguna oscura razón, quieres conseguir otro vector que tenga la misma dirección y el mismo sentido que $\overrightarrow{v}$, pero necesitas que este vector tenga módulo $1$. Por ejemplo, si tienes un de módulo $3$, ¿qué harías para conseguir un vector de su misma dirección y sentido pero cuyo módulo sea $1$, en lugar de $3$?
Si recuerdas el significado del producto de un escalar por un vector la manera de conseguirlo es sencilla: multiplica $\overrightarrow{v}$ por $\frac{1}{3}$. Dicho de otra manera, divide el vector $\overrightarrow{v}$ entre $3$ (su módulo), y problema resuelto. Este vector unitario en la dirección y sentido de $\overrightarrow{v}$ lo representamos como ${\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}$.

Un vector con la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{v}$, pero de módulo $1$.

Podemos generalizar el razonamiento anterior de la siguiente manera: para obtener un vector unitario en la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{v}$ hay que dividir $\overrightarrow{v}$ entre su módulo. Es decir:

$${\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\overrightarrow{v}}{v}$$

Esta expresión también la podemos escribir así:

$$\overrightarrow{v}=v\cdot {\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}$$

Es decir, cualquier vector $\overrightarrow{v}$ se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario de su misma dirección y sentido.

Ejemplo
Halla el vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que el vector $\overrightarrow{v}=(4,-3)$.

Solución:
Primero calculamos el módulo de $\overrightarrow{v}$:

$$v=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$$ El vector unitario se obtiene dividiendo $\overrightarrow{v}$ entre su módulo $v$ o, lo que es lo mismo, multiplicando $\frac{1}{v}$ por $\overrightarrow{v}$:

$${\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\overrightarrow{v}}{v}=\frac{1}{v}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{5}\cdot (4,-3)=\left(\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$$

Vector en la dirección de un vector unitario

Podemos también razonar a la inversa: si tenemos un vector unitario y lo multiplicamos por un número, ¿qué se obtiene? Fíjate en estos ejemplos:

Si el vector unitario $\overrightarrow{u}$ se multiplica por $3$, el vector resultante tiene módulo $3$ y la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{u}$. Si el vector unitario $\overrightarrow{u}$ se multiplica por $-2$, el vector resultante tiene módulo $2$, la misma dirección que $\overrightarrow{u}$ y sentido contrario.

Recordando de nuevo qué quiere decir el producto de un escalar por un vector, y teniendo en cuenta que $\overrightarrow{u}$ es un vector unitario, podemos concluir lo siguiente:

• El vector $3\cdot \overrightarrow{u}$ es un vector con la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{u}$, y cuyo módulo es $3$.
• El vector $-2\cdot \overrightarrow{u}$ es un vector que tiene la misma dirección que $\overrightarrow{u}$, tiene sentido contrario a $\overrightarrow{u}$, y su módulo es $2$.

Es decir, cuando multiplicamos un vector unitario $\overrightarrow{u}$ por un número $k$, el vector que se obtiene tiene las siguientes características:

• Su módulo es $|k|$.
• Su dirección es la misma que la de $\overrightarrow{u}$.
• Su sentido es el mismo que el de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$, y opuesto si $k<0$.

Ejemplo
Halla un vector $\overrightarrow{w}$ de módulo $2$ que tenga la misma dirección y sentido que el vector $\overrightarrow{v}=(1,-2)$.

Solución:
El módulo de $\overrightarrow{v}$ es: $$v=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$$

Hallamos el vector unitario en la misma dirección y sentido que $\overrightarrow{v}$:

$${\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}=\frac{\overrightarrow{v}}{v}=\frac{1}{v}\cdot \overrightarrow{v}=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot (1,-2)=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$$

Como el vector que se pide tiene el mismo sentido que $\overrightarrow{v}$ y su módulo es $2$, simplemente tenemos que multiplicar el vector unitario ${\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}$ por $2$:

$$\overrightarrow{w}=2\cdot {\overrightarrow{u}}_{\overrightarrow{v}}=2\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$$

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