Momento de un vector con respecto a un punto

La última operación que estudiaremos en esta introducción al cálculo vectorial es el momento de un vector con respecto a un punto. En las operaciones que hemos visto hasta ahora habíamos considerado siempre vectores libres. Es decir, el resultado de la operación era independiente de dónde estuviesen aplicados los vectores. Hay ocasiones en las que, sin embargo, el punto de aplicación del vector sí importa. Una de ellas es la operación que vamos a definir a continuación.
Piensa en un vector \(\vec F\) que está aplicado en el punto \(P\). Piensa ahora en otro punto del espacio, el punto \(O\). El momento de \(\vec F\) con respecto a \(O\) es el producto vectorial de \(\vec {OP}\) por \(\vec F\):

\[\vec M=\vec{OP} \times \vec F\]

donde \(\vec {OP}\) es el vector que va desde \(O\) (el punto respecto al que estamos calculando el momento) a \(P\) (el punto de aplicación del vector \(\vec F\)).

Momento del vector \(\vec F\), aplicado en \(P\), con respecto al punto \(O\).

• El módulo del momento es el módulo de \(\vec{OP}\) (que no es otra cosa que la distancia entre los puntos \(O\) y \(P\) considerados) por el módulo de \(\vec F\) por el seno del ángulo que forman.
• La dirección del momento es perpendicular al plano formado por \(\vec{OP}\) y \(\vec F\).
• El sentido viene determinado por el avance de un sacacorchos que vaya de \(\vec{OP}\) a \(\vec F\) por el camino más corto.

Entonces, si el momento no deja de ser un simple producto vectorial, ¿qué lo hace especial para merecer un tratamiento aparte? La respuesta es que, como veremos más adelante, esta operación tiene importantísimas consecuencias cuando el vector considerado es una fuerza (por eso hemos escogido precisamente la letra \(\vec F\) para nombrar al vector).

Ejemplo
El vector \(\vec F=2\vec i−\vec j\) está aplicado en el punto \((1,1,0)\). Calcula su momento con respecto al origen de coordenadas.

• Coordenadas de vector: \(\vec F=(2,-1,0)\)
• Punto de aplicación del vector: \(P(1,1,0)\)
• Punto respecto al que se calcula el momento: \(O(0,0,0)\)

Necesitamos primero calcular el vector \(\vec{OP}\). Como \(O\) es el origen de coordenadas, entonces las coordenadas de \(\vec{OP}\) coinciden con las de \(P\):

\[\vec{OP}=P-O=(1,1,0)-(0,0,0)=(1,1,0)\] Y lo único que falta es hallar el producto vectorial de \(\vec{OP}\) por \(\vec F\):

\[\vec M=\vec{OP} \times \vec F= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0\\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix}=-3\vec k\]

Para pensar
Fíjate en el resultado del ejercicio anterior: las coordenadas \(X\) e \(Y\) del momento son cero, es decir, el vector momento tiene la dirección del eje \(Z\). Sin calcular el producto vectorial de \(\vec{OP}\) por \(\vec F\), ¿cómo podrías haber deducido que la dirección del vector momento es la del eje \(Z\)? Una pista: mira esta representación en tres dimensiones de los vectores \(\vec{OP}\) y \(\vec F\) y gírala para ver cómo se sitúan dichos vectores.

Momento del vector \(\vec F=(2,-1,0)\), aplicado en \(P(1,1,0)\), respecto al punto \(O(0,0,0)\).

# --------- DATOS ---------

# Coordenadas del vector
Fx = 2
Fy = -1
Fz = 0

# Punto P de aplicación del vector
Px = 1
Py = 1
Pz = 0

# Coordenadas del punto O
Ox = 0
Oy = 0
Oz = 0

# --------------------------

# Vector OP
OPx = Px - Ox
OPy = Py - Oy
OPz = Pz - Oz

# Momento de F con respecto a O
momentoX = OPy*Fz - OPz*Fy
momentoY = OPz*Fx - OPx*Fz
momentoZ = OPx*Fy - OPy*Fx

# Salida por pantalla
print("Vector F =", (Fx,Fy,Fz), "aplicado en", (Px,Py,Pz))
print("Punto O =", (Ox,Oy,Oz))
print("Momento del vector F con respecto a O -> M =", (momentoX,momentoY,momentoZ))