El vector de posicón es: \(\vec r(t)=5t^2\vec i+(3t-1)\vec j-4\vec k \; [m]\). Derivando este vector se obtiene la velocidad en cualquier instante: \[\vec v(t)=10t\vec i+3\vec j \; [m/s]\] Sustituyendo el tiempo en los instantes considerados: \[ \begin{array}{c} \vec v(0)=3\vec j \; [m/s]\\ \vec v(1)=10\vec i+3\vec j \; [m/s]\\ \end{array} \]

Para representar un vector necesitamos saber su módulo, dirección y sentido.

• El enunciado nos dice que, saliendo de A hacia B, el cuerpo lleva cada vez más velocidad. Por tanto los módulos de la velocidad verifican \(v_1<v_2<v_3\).
• La dirección de la velocidad es, en cada punto, tangente a la trayectoria.
• El sentido del vector velocidad coincide con el sentido del movimiento, por tanto en cada punto el vector apuntará en el sentido de avance de A hacia B.

Teniendo en cuenta estas características, los vectores quedarán como sigue:

\[\vec r(t)=(t^2-5t+4)\vec i \; [m]\] \[ \left.\begin{array}{l} \vec r(2s)=-2\vec i\\ \vec r(3s)=-2\vec i \end{array}\right\} \Rightarrow \Delta \vec r=\vec r_2-\vec r_1=\vec 0 \Rightarrow \vec v_m=\vec 0 \; [m/s] \]

La velocidad media es cero. Esto se debe a que el desplazamiento entre ambos instantes es cero, lo que quiere decir que en ambos instantes la partícula ocupa la misma posición (x=-2 m). Sin embargo, recuerda que esto no implica que la partícula haya estado en reposo entre dichos instantes.

\[\vec v(t)=(2t-5)\vec i \; [m/s] \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \vec v(2s)=-\vec i\\ \vec v(3s)=\vec i \end{array}\right.\]

En ambos instantes la partícula lleva una velocidad de 1 m/s (en módulo). En el instante t=2 s la velocidad tiene dirección \(-\vec i\) y en t=3 s la velocidad tiene dirección \(+\vec i\). Es decir, en t=2 s la partícula pasa por x=-2 m moviéndose hacia la izquierda; un segundo después vuelve a pasar por esa posición, con la misma velocidad pero esta vez moviéndose hacia la derecha, como se indica en el dibujo:
Para que el movimiento cambie de sentido tiene que cambiar el signo de la velocidad; esto sucede en el instante en que la velocidad se hace cero. Por tanto: \[v=0 \Rightarrow 2t-5=0 \Rightarrow t=2,5 \; s\] En el instante t=2,5 s el movimiento cambia de sentido, y en ese instante el cuerpo está en la posición x=-2,25 m.

¿Qué tengo que calcular? ¿Cómo se calcula?

• Celeridad: se calcula dividiendo el espacio recorrido sobre la trayectoria entre el tiempo empleado en recorrerla; es una magnitud escalar.
• Velocidad media entre dos instantes: es igual al desplazamiento dividido entre el tiempo correspondiente; se trata de una magnitud vectorial.

¿Qué sé?

• El movimiento tiene lugar en un plano.
• La trayectoria descrita por el punto es una circunferencia.
• El radio de la circunferencia es 20 cm.
• El punto tarda 60 s en dar una vuelta completa.
• El punto gira con velocidad constante.
• La longitud de una circunferencia de radio r es 2πr.

¿Qué necesito saber?

• Para calcular la celeridad:
  • El espacio que recorre el punto cuando gira un cuarto de vuelta, media vuelta y una vuelta completa.
  • El tiempo que le lleva girar un cuarto de vuelta y girar media vuelta.
• Para calcular el desplazamiento:
  • La posición inicial.
  • La posición final cuando gira un cuarto de vuelta, media vuelta y una vuelta completa.
  • El tiempo que le lleva girar un cuarto de vuelta y girar media vuelta.

Sistema de referencia e instante inicial

Dado que el movimiento es en un plano, lo más conveniente es suponer que el movimiento tiene lugar en el plano XY y escoger el sistema de referencia cartesiano de toda la vida. Como dijimos al introducir el concepto de sistema de referencia, puedes situarlo donde y como prefieras. Dibuja la trayectoria del móvil y busca distintas opciones para colocar el sistema de referencia; piensa también en dónde está el móvil en el instante t=0 s. De todas las opciones que se te han ocurrido, escoge la que te parezca mejor.
Para resolver el ejercicio hemos colocado el origen del sistema de referencia en el centro de la circunferencia y hemos tomado t=0 s en el instante en que el segundero pasa por el 12 del reloj. Si tú has situado el sistema de referencia de otra manera o has tomado otro o origen de tiempos el resultado te dará algo diferente.

Cálculos

Viendo los valores de las magnitudes con las que estamos trabajando, vamos a realizar los cálculos con las longitudes expresadas en centímetros.
Para calcular los tiempos tendremos en cuenta que, como la aguja se mueve con velocidad constante, recorrer un cuarto de vuelta le llevará la cuarta parte del tiempo que le lleva recorrer una vuelta completa, y media vuelta le llevará la mitad del tiempo de una vuelta.

Estos son los resultados obtenidos:

	Posición inicial (cm)	Posición final (cm)	\(\Delta \vec r\) (cm)	\(s\) (cm)	\(t\) (s)	\(c=\frac{s}{t}\) (cm/s)	\(\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\) (cm/s)
Un cuarto de vuelta	(0,20)	(20,0)	\(20\vec i-20 \vec j\)	31,4	15	2,1	\(1,3\vec i-1,3\vec j\)
Media vuelta	(0,20)	(0,-20)	\(-40 \vec j\)	62,8	30	2,1	\(-1,3\vec j\)
Una vuelta completa	(0,20)	(0,20)	\(\vec 0\)	125,7	60	2,1	\(\vec 0\)

Análisis del resultado

Reflexiona sobre los resultados que has obtenido. ¿Qué sentido tiene que la celeridad sea siempre la misma? ¿Es consecuente la velocidad media con los esquemas que habíamos dibujado? ¿Qué cambiaría si, por ejemplo, considerásemos la aguja de los minutos o las horas en vez de la de los segundos, o si las agujas girasen en sentido contrario, o si el reloj fuese más grande o más pequeño?

Para clasificar el movimiento necesitamos saber cuánto valen \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\) en cualquier instante.

Ecuaciones del movimiento
\[\vec r=(2t^2+1)\vec i+t^2\vec j+3\vec k \; [m]\] \[\vec v=4t\vec i+2t\vec j \; [m/s]\] \[\vec a=4\vec i+2\vec j \; [m/s^2]\]

Aceleración tangencial en función del tiempo

Módulo de la velocidad:

\[v=\sqrt{16t^2+4t^2}=2\sqrt5 \cdot t \; [m/s]\]

Derivada del módulo de la velocidad:

\[\frac {dv}{dt}=2\sqrt5 \; [m/s^2]\]

Vector unitario tangente a la trayectoria:

\[\vec u_t=\frac {\vec v}{v}=\frac{4t\vec i+2t\vec j}{2\sqrt5 t} = \frac {2}{\sqrt5}\vec i+\frac {1}{\sqrt5}\vec j\]

Aceleración tangencial:

\[\vec a_t=\frac {dv}{dt} \cdot \vec u_t=2\sqrt5 \cdot \left ( \frac {2}{\sqrt5}\vec i+\frac {1}{\sqrt5}\vec j \right ) = 4\vec i+2\vec j \; [m/s^2]\]

Aceleración normal en función del tiempo
\[\vec a_n=\vec a-\vec a_t=(4\vec i+2\vec j)-(4\vec i+2\vec j)=\vec 0 \; [m/s^2]\]

Conclusiones

Como \(\vec a_t \neq \vec 0\) el movimiento es acelerado; además \(\vec a_t\) es constante, por tanto el movimiento es uniformemente acelerado. Como \(\vec a_n=\vec 0\) el movimiento es rectilíneo. En conclusión se trata de un MRUA.

Trayectoria

Ecuaciones paramétricas:

\[ \left.\begin{array}{l} x=2t^2+1\\ y=t^2\\ z=3 \end{array} \right\} \]

Sustituyendo \(y=t^2\) en la expresión de \(x\) obtenemos:

\[ \left.\begin{array}{l} x=2y+1\\ z=3 \end{array} \right\} \]

Es decir, la trayectoria es la recta \(y=\frac12x-\frac12\) en el plano \(z=3\).

Del enunciado podemos deducir que el módulo de la velocidad de traslación de la Luna es constante, pero no así su dirección (ya que está girando continuamente alrededor de la Tierra). Es decir, la Luna no tiene aceleración tangencial, y toda la aceleración es normal.
El módulo de la aceleración normal es \(a_n=\frac{v^2}{R}\). Por tanto, para calcularla necesitamos dos cosas: la velocidad de la Luna y el radio de la trayectoria.
Del artículo del enlace obtenemos los siguientes datos:

• “Su órbita es casi circular”: la trayectoria es una circunferencia con la Tierra situada en el centro; por tanto el radio de curvatura es constante.
• “La distancia media entre el centro de la Tierra y la Luna es de 384400 km”: este dato es el radio de la órbita, es decir, el radio de curvatura de la trayectoria.
• “Su período de rotación alrededor de la Tierra es de 27,322 días”: a la Luna le lleva 27,322 días dar una vuelta completa alrededor de la Tierra, es decir, ese es el tiempo que tarda en describir una circunferencia completa.

Con estos datos podemos calcular \(R\) y \(v\):

• radio de curvatura: R=384400 km=3,844·10⁸ m
• velocidad: como v=cte la podemos calcular dividiendo el espacio recorrido, s (la longitud de la circunferencia), entre el tiempo empleado, t (el período del movimiento de la Luna): \[s=2\pi R=2,42·10^9 \; m\] \[t=27,322 \; días=2,36·10^6 \; s\] \[v=\frac st=1,03·10^3 \; m/s \; (\approx 3700 \; km/h)\]

Por tanto la aceleración normal de la Luna, en módulo, es: \[a_n=\frac{v^2}{R}=2,76·10^{-3} \; m/s^2\]

Ecuaciones del movimiento:

\[\vec r(t)=\vec i+(t^4+2)\vec j+(t^2-1)\vec k \; [m]\] \[\vec v(t)=4t^3\vec j+2t\vec k \; [m/s]\] \[\vec a(t)=12t^2\vec j+2\vec k \, [m/s^2]\]

Aceleración media entre t=0 s y t=1 s:

\[\vec a_m=4\vec j+2\vec k \; [m/s^2]\]

Aceleración en t=1 s:

\[\vec a(t=1 s)=12\vec j+2\vec k \; [m/s^2]\]

Componentes intrínsecas de la aceleraciónen t=1 s:

\[\vec a_t(t=1 s)=\frac{52}{5}\vec j + \frac{26}{5}\vec k \; [m/s^2]\] \[\vec a_n(t=1 s)=\frac{8}{5}\vec j−\frac{16}{5}\vec k \; [m/s^2]\]

Radio de curvatura en t=1 s:

\[R=5,6 \; m\]

Para contestar la pregunta debemos analizar cómo es la aceleración tangencial; para ello tenemos que ver cómo varía el módulo de la velocidad en función del tiempo.

\[\vec r= 2 \sin t \, \vec i+ 2\cos t \, \vec j \; [m]\] \[\vec v= 2 \cos t \, \vec i - 2\sin t \, \vec j \; [m/s]\] \[v=\sqrt{4\cos ^2t+4 \sin ^2t}= 2 \; [m/s]\] (ya que \(\sin ^2t+\cos ^2t=1\)). Como el módulo de la velocidad vale siempre 2 m/s la aceleración tangencial es cero (ya que \(\frac{dv}{dt}=0\) por ser \(v=cte\)). Se trata de un movimiento uniforme.

Ejecuta este programa para comprobar tu resultado:

Puedes usar este programa para corregir problemas similares sin más que cambiar los datos. Eso sí, debes tener cuidado con el radio de curvatura: si el movimiento es rectilíneo la aceleración normal es cero, y a la hora de calcular el radio SageMath se va a quejar porque le estás pidiendo que divida entre cero. ¿Se te ocurre cómo podrías arreglar el programa para que funcione también en este caso?

Para calcular la celeridad media tenemos que calcular el espacio recorrido por el móvil. Sabemos que el movimiento es rectilíneo, ya que tiene lugar sobre el eje X, pero necesitamos saber si en los cinco segundos el movimiento ha cambiado de sentido. Para ello tenemos que analizar el signo de la velocidad instantánea. Como el movimiento es en una dimensión, una velocidad positiva quiere decir que el vector velocidad tiene dirección \(+\vec i\) (por tanto, el cuerpo se mueve hacia la derecha), y una velocidad negativa implica que el vector velocidad tiene dirección \(-\vec i\) (y el cuerpo se mueve hacia la izquierda). Derivando \(\vec r\) obtenemos la velocidad instantánea, que es:

\[\vec v=(4-2t)\vec i \; [m/s]\]

Llamando \(v=4-2t\), el signo de \(v\) varía de la siguiente manera:

\[ v=4-2t \Rightarrow \left\{\begin{array}{l l} v>0, & si \; 0\leqslant t<2\\ v=0, & si \; t=2 \\ v<0, & si \; t>2 \end{array}\right. \]

Es decir, durante los dos primeros segundos el móvil se mueve hacia la derecha, en t=2 s se para, y después sigue moviéndose hacia la izquierda. Calculamos las posiciones en el instante inicial, el instante final y en el momento en que cambia de sentido:

\[t=0 \; s \Rightarrow \vec r(0)=\vec i \; [m] \Rightarrow x=1 \; m\] \[t=2 \; s \Rightarrow \vec r(2)=5\vec i \; [m] \Rightarrow x=5 \; m\] \[t=5 \; s \Rightarrow \vec r(5)=-4\vec i \; [m] \Rightarrow x=-4 \; m\]

Por tanto el espacio recorrido por el móvil entre t=0 s y t=2 s es 4 m (desde la posición x=1 hasta la posición x=5), y entre t=2 y t=5 s es 9 m (desde x=5 hasta x=–4). En total, el móvil ha recorrido un espacio de 4+9=13 m en 5 s. En consecuencia la celeridad media en ese intervalo es:

\[c=\frac st=\frac{13}{5}=2,6 \;m/s\]

1. Posición

Las coordenadas \((x,y)\) del punto en que se encuentra el móvil en cada instante vienen dadas por las ecuaciones paramétricas \(x=-5\sin 2t\), \(y=5\cos 2t\).

\[ \begin{array}{c|c|c|c} t(s) & x \; (m) & y \; (m) & (x,y)\\ \hline 0 & 0 & 5 & (0,5)\\ \pi/4 & -5 & 0 & (-5,0)\\ \pi/2 & 0 & -5 & (0,-5)\\ 3\pi /4 & 5 & 0 & (5,0)\\ \pi & 0 & 5 & (0,5) \end{array} \] 2. Velocidad media entre t=0 s y t=π s

En t=π s la partícula está en la misma posición en la que estaba en el instante inicial (ha dado una vuelta completa). En consecuencia el desplazamiento entre estos dos instantes es cero y, por tanto, también lo es la velocidad media.

3. Velocidad instantánea

El vector de posición de la partícula es:

\[\vec r(t)=-5\sin 2t \, \vec i+5\cos 2t \, \vec j \; [m]\] Derivando el vector de posición obtenemos la velocidad en función del tiempo:

\[\vec v(t)=-10\cos 2t \, \vec i-10 \sin 2t \, \vec j \; [m/s]\]

Sustituyendo los instantes correspondientes:

\[ \begin{array}{c|c} t(s) & \vec v \; (m/s) \\ \hline 0 & -10\vec i \\ \pi/4 & -10\vec j \\ \pi/2 & 10\vec i \\ 3\pi /4 & 10\vec j \end{array} \] 4. Módulo de la velocidad
\[|\vec v|=\sqrt{(-10\cos 2t)^2+(-10 \sin 2t)^2 }=10 \; m/s\]

(ya que \(\sin^2x+\cos^2x=1\)). El módulo de \(\vec v\) es constante y vale 10 m/s en cualquier instante.

5. Aceleración instantánea

Derivando el vector velocidad obtenemos la aceleración en función del tiempo:

\[\vec a(t)=20\sin 2t \, \vec i-20\cos 2t \, \vec j \; [m/s^2]\]

Sustituyendo los instantes correspondientes:

\[ \begin{array}{c|c} t(s) & \vec a \; (m/s^2 ) \\ \hline 0 & -20\vec j \\ \pi/4 & 20\vec i \\ \pi/2 & 20\vec j \\ 3\pi /4 & -20\vec i \end{array} \]

6. Componentes intrínsecas de la aceleración

Como el módulo de la velocidad es constante entonces la partícula no tiene aceleración tangencial. Por tanto la componente normal en cada instante coincide con la aceleración que acabamos de calcular. Es decir:

\[\vec a_t(t)=\vec 0 \; [m/s^2]\] \[\vec a_n(t)=20\sin 2t \, \vec i-20\cos 2t \, \vec j \; [m/s^2]\] 7. Radio de curvatura

El radio de curvatura en cada instante se obtiene a partir del módulo de la aceleración normal:

\[a_n=\frac{v^2}{R} \Rightarrow R=\frac {v^2}{a_n}\]

Como vimos, la aceleración normal coincide con la aceleración total, por tanto su módulo es:

\[a_n=\sqrt{(20\sin 2t)^2+(-20\cos 2t)^2}=20 \; m/s^2\]

Es decir, \(a_n\) es constante en módulo. Dado que tanto \(v\) como \(\vec a_n\) son constantes, el radio de curvatura de la trayectoria vale lo mismo en todos los puntos, y este valor es:

\[R=\frac {v^2}{a_n}=\frac{10^2}{20}=5 \; m\] 8. Tipo de movimiento

Del estudio realizado podemos sacar las siguientes conclusiones sobre el movimiento:

• Es uniforme porque el módulo de la velocidad es constante (\(\vec a_t=\vec 0\)).
• Es curvilíneo porque la aceleración normal es distinta de cero (\(\vec a_n \neq \vec 0\)). En concreto, como el radio de curvatura \(R\) es constante, la trayectoria es una circunferencia.

Por tanto el movimiento es circular uniforme (MCU).

9. Esquema del movimiento

A partir del estudio realizado podemos dibujar esquemáticamente el movimiento como sigue:

10. Ecuación de la trayectoria

Las ecuaciones paramétricas son \(x=-5\sin 2t\), \(y=5\cos 2t\). Si elevamos ambas coordenadas al cuadrado y sumamos estos cuadrados desaparece el parámetro \(t\) y obtenemos la ecuación de la trayectoria:

\[x^2+y^2=25\]

Esta curva es una circunferencia de radio 5 centrada en el origen (mira el apartado “Ejemplos de curvas en el plano”), resultado al que ya habíamos llegado haciendo el análisis del movimiento.

Calculemos primero la velocidad en el instante considerado:

\[x(t)=2t^2+2 \Rightarrow v(t)=\frac{dx}{dt}=4t\] \[v(t=1 \; s)=4 \; m/s\]

Debemos comprobar que esta velocidad es el límite de la velocidad media cuando \(\Delta t \rightarrow 0\):

\[v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}v_m=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}\]

Para calcular este límite tomamos t=1 s y vamos dando a \(\Delta t\) valores cada vez más pequeños. Por ejemplo, consideremos los valores siguientes de \(\Delta t\): 1 s, 0,1 s, 0,01 s, 0,001 s, 0,0001 s, 0,00001 s, 0,000001 s y 0,0000001 s. Calculando la velocidad media en cada uno de los intervalos considerados obtenemos los siguientes datos:

\[x(t)=2t^2+2\]

\[ v_m=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t} \]

\[ \begin{array}{l l l} t\;(s) & \Delta t \;(s) & v_m\; (m/s)\\ \hline 1 & 1 & 6\\ 1 & 0,1 & 4,2\\ 1 & 0,01 & 4,02\\ 1 & 0,001 & 4,002\\ 1 & 0,0001 & 4,0002\\ 1 & 0,00001 & 4,00002\\ 1 & 0,000001 & 4,000002\\ 1 & 0,0000001 & 4,0000002 \end{array} \]

Cuanto menor se hace \(\Delta t\), más se acerca la velocidad media al valor 4 m/s. A la vista de los resultados, queda claro que la velocidad media tiende a la instantánea cuando el intervalo de tiempo considerado se acerca a cero.

Física con Sage

Para evitar repetir una y otra vez las mismas operaciones, para calcular las velocidades medias hemos usado este programa cambiando de cada vez el valor de \(\Delta t\).

Este programa se podría mejorar mucho, usando por ejemplo un bucle para calcular de una sola vez todas las velocidades. ¿Te animas a hacerlo?

Sabemos que, dado el vector de posición de una partícula en función del tiempo, la velocidad se obtiene derivando este vector de posición. El problema planteado, sin embargo, es el contrario: dada la velocidad debemos obtener el vector de posición. Para resolverlo, entonces, debemos recurrir a la operación opuesta a la derivación: la integración.
La relación entre \(\vec r\) y \(\vec v\) es la siguiente:

\[\vec v=\frac{d\vec r}{dt}\]

Esta expresión es equivalente a la siguiente relación entre los diferenciales \(d\vec r\) y \(dt\):

\[d\vec r=\vec v \, dt\]

Según el enunciado, la velocidad de la partícula es:

\[ \vec v=v_x\vec i+v_y\vec j=(2t-1)\vec i + (t^2+4)\vec j \]

Por tanto podemos escribir:

\[d\vec r=[(2t-1)\vec i + (t^2+4)\vec j] \, dt\]

En el instante inicial t=0 s la partícula está en la posición \(\vec r(0)\), y en un instante t la partícula está en la posición \(\vec r(t)\). Por tanto, integrando ambos miembros de la expresión anterior entre esos dos instantes obtenemos:

\[\int_{\vec r(0)}^{\vec r(t)}d\vec r=\int_{0}^{t}[(2t-1)\vec i + (t^2+4)\vec j] \,dt\]

La integral de \(d\vec r\) es \(\vec r\), por tanto el primer miembro es:

\[\int_{\vec r(0)}^{\vec r(t)}d\vec r=\left [ \vec r \right ]_{\vec r(0)}^{\vec r(t)}=\vec r(t)-\vec r(0)\]

En el segundo miembro tenemos que calcular una integral polinómica muy sencilla:

\[ \int_{0}^{t}[(2t-1)\vec i + (t^2+4)\vec j] \,dt=\left [ (t^2-t)\vec i + \left (\frac{t^3}{3}+4t \right )\vec j \right ]_0^t= (t^2-t)\vec i + \left (\frac{t^3}{3}+4t \right )\vec j \]

Poniendo ambos resultados juntos:

\[ \vec r(t)-\vec r(0)=(t^2-t)\vec i + \left (\frac{t^3}{3}+4t \right )\vec j \]

El enunciado nos da el valor de la posición inicial, por tanto sabemos que \(\vec r(0)=\vec i\). Sustituyendo este valor en la expresión anterior y despejando obtenemos el valor del vector de posición con respecto al tiempo: \[ \vec r(t)=(t^2-t+1)\vec i + \left (\frac{t^3}{3}+4t \right )\vec j \]