Módulo de \(\vec a \times \vec b\)

El módulo del producto vectorial de \(\vec a\) por \(\vec b\) es:

\[|\vec a \times \vec b|=|\vec a|·|\vec b|·\operatorname{sen}\alpha\]

El hecho de que en el módulo aparezca el seno del ángulo que forman los vectores tiene una importante consecuencia. Si \(\vec a\) y \(\vec b\) son paralelos, entonces el ángulo que forman es \(0^\circ\) o \(180^\circ\). En ambos casos, el seno de dicho ángulo es cero y, por tanto, el módulo de \(\vec a \times \vec b\) también es cero. Y el único vector cuyo módulo vale cero es el vector nulo. En consecuencia, el producto vectorial de dos vectores paralelos es el vector nulo:

\[\vec a \parallel \vec b \;\Rightarrow\; \vec a \times \vec b=\vec 0\]

Dirección de \(\vec a \times \vec b\)

Como \(\vec a \times \vec b\) es un vector, además de su módulo debemos conocer su dirección. Para ello tenemos primero que determinar cuál es el plano que forman los vectores \(\vec a\) y \(\vec b\). Es decir, tenemos que identificar cuál es el plano que contiene a ambos vectores. Una vez determinado este plano la dirección de \(\vec a \times \vec b\) es fácil de obtener: el producto vectorial es perpendicular a dicho plano.

La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que forman los vectores.

Sentido de \(\vec a \times \vec b\)

Acabamos de determinar la dirección de \(\vec a \times \vec b\). Pero toda dirección tiene dos posibles sentidos. ¿Cuál es el sentido que le corresponde al vector \(\vec a \times \vec b\)? Para determinarlo recurrimos a la llamada “regla del sacacorchos”. Imagínate un sacacorchos que gire desde \(\vec a\) hasta \(\vec b\) (en este orden porque estamos haciendo el producto \(\vec a \times \vec b\)) por el camino más corto. En la dirección que hemos determinado previamente, ¿hacia dónde avanza el sacacorchos? El sentido de avance del sacacorchos nos da el sentido del vector \(\vec a \times \vec b\).

El sentido del producto vectorial viene determinado por la regla del sacacorchos.

En lugar del sacacorchos puedes usar un destornillador, el tapón de una botella, un tornillo, una bombilla… Escoge el instrumento que te resulte más familiar, todos “funcionan” igual.

Regla del sacacorchos (Imagen: Freepik / Beatriz Padín).

Para pensar
Aplicando la definición del producto vectorial, ¿podrías decir cuánto valen los siguientes productos de los vectores unitarios?: \(\vec i \times \vec i\), \(\vec j \times \vec j\), \(\vec k \times \vec k\), \(\vec i \times \vec j\), \(\vec j \times \vec k\) y \(\vec k \times \vec i\).

Diagonales de un determinante

Antes de describir cómo se calcula el valor del determinante debemos identificar las llamadas diagonales. Un determinante tiene dos diagonales: la principal y la secundaria. La diagonal principal está formada por los elementos que van de la esquina superior izquierda a la esquina inferior derecha (en color azul en la imagen). La diagonal secundaria va de la esquina superior derecha a la esquina inferior izquierda (en color rojo).
A la diagonal principal le hemos asociado el signo \(+\) y a la secundaria el signo \(-\); enseguida veremos el significado de estos signos.

Diagonal principal y diagonal secundaria de un determinante.

Regla de Sarrus

Una vez situados los elementos del determinante (recuerda: primera fila, vectores unitarios; segunda fila, coordenadas del primer vector; tercera fila, coordenadas del segundo vector), para calcular su valor recurrimos a la llamada regla de Sarrus. Según esta regla debemos multiplicar los elementos del determinante y sumar los productos de la siguiente manera:

• Empezamos multiplicando los elementos de la diagonal principal (¿te fijas que en este producto estamos tomando un único elemento de cada fila y de cada columna?), \(a_y·b_z·\vec i\).
• A este producto le sumamos el siguiente producto: multiplicamos los dos elementos que están justo por debajo de la diagonal principal y el elemento de la esquina superior derecha (de nuevo, en el producto aparece un único elemento de cada fila y de cada columna), \(a_x·b_y·\vec k\).
• Sumamos un tercer producto: el resultado de multiplicar los dos elementos que están justo por encima de la diagonal principal y el elemento de la esquina inferior izquierda, \(a_z·b_x·\vec j\).
• Pasamos ahora a la dirección determinada por la diagonal secundaria, con lo que ahora vamos a restar en lugar de sumar: restamos el producto de los elementos de la diagonal secundaria, \(a_y·b_x·\vec k\).
• Seguimos restando: multiplicamos los dos elementos que están justo por debajo de la diagonal secundaria y el elemento de la esquina superior izquierda, \(a_z·b_y·\vec i\).
• Por último, restamos el resultado de multiplicar los dos elementos que están justo por encima de la diagonal secundaria y el elemento de la esquina inferior derecha, \(a_x·b_z·\vec j\).

Regla de Sarrus para obtener el valor de un determinante.

Agrupando los términos semejantes, finalmente el resultado queda así:

\[\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} =\]

\[=a_y \cdot b_z \cdot \vec i+a_x \cdot b_y \cdot \vec k+a_z \cdot b_x \cdot \vec j−a_y \cdot b_x \cdot \vec k-a_z \cdot b_y \cdot \vec i-a_x \cdot b_z \cdot \vec j=\] \[=(a_y \cdot b_z−a_z \cdot b_y)\vec i+(a_z \cdot b_x−a_x \cdot b_z)\vec j+(a_x \cdot b_y−a_y \cdot b_x)\vec k\]

Este vector es el resultado de multiplicar vectorialmente los vectores \(\vec a\) y \(\vec b\).

Ejemplo
Calcula el producto vectorial de los vectores \(\vec a=\vec i+\vec j+\vec k\) y \(\vec b=−2\vec i+\vec k\).

Solución:

\[\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}= \vec i+0\vec k-2\vec j+2\vec k-0\vec i-\vec j=\vec i-3\vec j+2\vec k\]