Vectores unitarios \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\)

Dentro de los vectores unitarios hay dos que son especialmente importantes: son los vectores \((1,0)\) y \((0,1)\). Son tan importantes que incluso tienen su propio nombre: \((1,0)\) es el vector \(\vec{i}\) y \((0,1)\) es el vector \(\vec{j}\).
Para conocerlos un poco mejor vamos a representar ambos vectores en el plano:

Vectores unitarios i y j.

El vector \(\vec{i}\) es un vector unitario que tiene la dirección del eje \(X\) y sentido positivo; el vector \(\vec{j}\) es un vector unitario que tiene la dirección del eje \(Y\) y sentido positivo.
Lo que hace destacar a estos dos vectores entre el resto de vectores es que, de ahora en adelante, cualquier vector del plano lo vamos a expresar en función de \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\). Para conseguirlo debemos recurrir a dos operaciones conocidas: la suma de vectores y el producto de un escalar por un vector. Si el vector \(\vec{v}\) tiene de coordenadas \((v_x,v_y)\), teniendo en cuenta que \(\vec{i}=(1,0)\) y \(\vec{j}=(0,1)\) lo podemos escribir de la siguiente manera:

\[\vec{v}=(v_x,v_y)=(v_x,0)+(0,v_y)=v_x(1,0)+v_y(0,1)=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}\]

¡Listo! Hemos expresado el vector \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) en función de los vectores unitarios \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\): \[\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}\]

A partir de ahora, esta será la manera en la que escribiremos los vectores en Física.

Ejemplo
Representa en el plano el vector \(\vec{v}=3\vec{i}+2\vec{j}\).

Solución
Vamos a seguir estos pasos:

• El vector \(\vec{v}\) es la suma de los vectores \(3\vec{i}\) y \(2\vec{j}\).
• \(3\vec{i}\) quiere decir que tenemos que representar \(3\) veces el vector \(\vec{i}\). Por tanto, \(3\vec{i}\) es un vector de módulo \(3\) unidades en la dirección positiva del eje \(X\).
• \(2\vec{j}\) es dos veces el vector \(\vec{j}\), es decir, es un vector de módulo \(2\) unidades en la dirección positiva del eje \(Y\).
• Representamos los vectores \(3\vec{i}\) y \(2\vec{j}\) y los sumamos aplicando la regla del paralelogramo. El resultado es el vector \(\vec{v}\).

El vector \(3\vec{i}+2\vec{j}\) se obtiene sumando los vectores \(3\vec{i}\) y \(2\vec{j}\) que están, respectivamente, sobre el eje \(X\) y el eje \(Y\).

¿Y cómo se representaría el vector \(\vec{v}=3\vec{i}-2\vec{j}\)? El único cambio es que ahora tenemos que sumar \(3\vec{i}\) y \(-2\vec{j}\). Como \(-2\vec{j}\) es lo mismo que \(2(-\vec{j})\), en el eje \(Y\) debemos representar un vector de módulo \(2\) unidades pero esta vez en el sentido negativo del eje \(Y\). Hazlo.