Ejercicios

Básicos

Ejercicio 1

Una partícula realiza tres desplazamientos sucesivos, expresados en metros: primero ${\vec{d}}_{1} = 10 \vec{i} + 20 \vec{j} + 10 \vec{k}$ , a continuación ${\vec{d}}_{2} = 30 \vec{i} + 10 \vec{j}$ y por último ${\vec{d}}_{3} = 20 \vec{k}$ .

Calcula el desplazamiento total de la partícula.
La partícula estaba inicialmente en el origen de coordenadas, $O$ . ¿En qué punto $P$ terminó su recorrido?
¿A qué distancia del punto de salida terminó la partícula?
Si ahora la partícula realiza el trayecto de vuelta desde P hasta $O$ , ¿cuál es el desplazamiento?

En este modelo en tres dimensiones puedes ver cada uno de los desplazamientos y el desplazamiento total. Haz clic sobre la imagen y arrastra para girarla.

$40 \vec{i} + 30 \vec{j} + 30 \vec{k}$
$(40, 30, 30)$
$58, 3 m$
$- 40 \vec{i} - 30 \vec{j} - 30 \vec{k}$

Ejercicio 2

Si $\vec{a} = 2 \vec{i} - 3 \vec{k}$ y $\vec{b} = - \vec{j} + \vec{k}$ , halla el vector $\vec{c}$ que verifica la ecuación $2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 2 \vec{c} = \vec{0}$ .

$\vec{c} = 2 \vec{i} - \frac{3}{2} \vec{j} - \frac{3}{2} \vec{k}$

Ejercicio 3

¿Qué ángulo forman entre sí los vectores $\vec{u} = \vec{i} - \vec{j}$ y $\vec{v} = 2 \vec{j}$ ?

Calcúlalo analíticamente.
Dibuja los vectores en el plano para comprobar el resultado.

$135^{\circ}$

Ejercicio 4

Los siguientes vectores del plano tiene su origen en el punto $(0, 0)$ :

Vector $\vec{a}$ de módulo $10$ que forma un ángulo de $30^{\circ}$ con el semieje $X$ positivo.
Vector $\vec{b}$ de módulo $6$ situado en el tercer cuadrante y que forma un ángulo de $30^{\circ}$ con el eje $Y$ .
Vector $\vec{c}$ de módulo $5$ situado sobre el semieje $Y$ positivo.

Represéntalos.
Calcula sus componentes.
Halla su suma.

$\vec{a} = 5 \sqrt{3} \vec{i} + 5 \vec{j}$
$\vec{b} = - 3 \vec{i} - 3 \sqrt{3} \vec{j}$
$\vec{c} = 5 \vec{j}$
$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (5 \sqrt{3} - 3) \vec{i} + (10 - 3 \sqrt{3}) \vec{j}$

Ejercicio 5

Dados los vectores $\vec{v} = - 6 \vec{i} + 3 \vec{j}$ y $\vec{w} = 10 \vec{i} - 5 \vec{j}$ :

Calcula el vector unitario en la dirección de $\vec{v}$ .
Calcula el vector unitario en la dirección de $\vec{w}$ .
Compara ambos vectores unitarios. ¿Qué conclusión se puede sacar sobre $\vec{v}$ y $\vec{w}$ ?
Halla un vector de la misma dirección y sentido que $\vec{v}$ que tenga módulo $3$ .

${\vec{u}}_{\vec{v}} = - \frac{2}{\sqrt{5}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{5}} \vec{j}$
${\vec{u}}_{\vec{w}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \vec{i} - \frac{1}{\sqrt{5}} \vec{j}$
Los vectores unitarios son opuestos, en consecuencia $\vec{v}$ y $\vec{w}$ son paralelos.
$3 \cdot {\vec{u}}_{\vec{v}} = - \frac{6}{\sqrt{5}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{5}} \vec{j}$

Ejercicio 6

Los módulos de los vectores de la figura son $| \vec{a} | = 6$ , $| \vec{b} | = 4$ y $| \vec{c} | = 4$ . Calcula los productos $\vec{a} \cdot \vec{b}$ y $\vec{a} \cdot \vec{c}$ .

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

\vec{a} \cdot \vec{c} = - 23, 2

Ejercicio 7

Halla el valor de $m$ para que los vectores $\vec{u} = m \vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$ y $\vec{v} = - \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ sean perpendiculares.

$m = - 2$

Ejercicio 8

Dados los vectores $\vec{u} = 2 \vec{i} + 3 \vec{k}$ y $\vec{v} = \vec{i} - 2 \vec{j} + 5 \vec{k}$ :

Calcula:
1. El producto $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .
2. El producto $\vec{u} \times \vec{v}$ .
3. El ángulo que forman $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .
Razona, sin calcularlo, cuál será el resultado de las siguientes operaciones:
1. $\vec{v} \cdot \vec{u}$
2. $\vec{v} \times \vec{u}$
3. $\vec{u} \times \vec{u}$
4. $\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 17$
$\vec{u} \times \vec{v} = 6 \vec{i} - 7 \vec{j} - 4 \vec{k}$
$α = 40, 6^{\circ}$
$\vec{v} \cdot \vec{u} = 17$
$\vec{v} \times \vec{u} = - 6 \vec{i} + 7 \vec{j} + 4 \vec{k}$
$\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$
$\vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = 0$

Avanzados

Ejercicio 9

Demuestra que el módulo de $k \cdot \vec{v}$ es $| k | \cdot | \vec{v} |$ .

Ejercicio 10

Los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ tienen de módulo $| \vec{u} | = 3$ y $| \vec{v} | = 2$ , y además $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$ . Calcula $\vec{u} \times \vec{v}$ .

$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$

Ejercicio 11

Halla un vector unitario que sea perpendicular a $(- 1, 5)$ .

$(\frac{5}{\sqrt{26}}, \frac{1}{\sqrt{26}})$

Ejercicio 12

Sabiendo que $\vec{u} = - 3 \vec{v}$ y $\vec{u} = 6$ , calcula $\vec{u} \cdot \vec{v}$ y $\vec{u} \times \vec{v}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 12$
$\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0}$

Ejercicio 13

¿En qué situaciones es positivo el producto escalar de dos vectores? ¿Y negativo?

Es positivo cuando el ángulo que forman los vectores es agudo. Es negativo cuando el ángulo es obtuso.

Ejercicio 14

Obtén todos los vectores perpendiculares al vector $(2, 3, - 1)$ .

$(a, b, 2 a + 3 b), a, b \in R$

Ejercicio 15

$\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores que verifican que $\vec{u} + \vec{v}$ es perpendicular a $\vec{u} - \vec{v}$ . ¿Qué relación hay entre estos vectores?

Tienen el mismo módulo.