Argumento de un vector

Hemos visto que es muy sencillo representar en el plano un vector del cual conocemos sus coordenadas: el vector \((v_x,v_y)\) lo representaremos uniendo el origen de coordenadas con el punto \((v_x,v_y)\). Pero, a veces, en lugar de las coordenadas del vector lo que conocemos es su módulo y el ángulo que forma con los ejes de coordenadas. Por ejemplo, ¿cómo se representaría un vector de módulo \(v\) que forme un ángulo \(\theta\) con el semieje \(X\) positivo? (recuerda que los ángulos se miden en sentido antihorario, es decir, contrario a las agujas del reloj). Fácil:

Vector de módulo \(v\) y argumento \(\theta\).

Al ángulo que forma un vector con el semieje \(X\) positivo se le llama argumento del vector. Entonces, si conocemos tanto el módulo como el argumento de un vector no tendremos ningún problema en representarlo.
El problema que surge ahora es otro: ¿cuáles son las coordenadas de ese vector? Y, recíprocamente, si conocemos las coordenadas de un vector, ¿cuál es su argumento? Para resolver ambas cuestiones tenemos que recurrir a nociones básicas de trigonometría.

Cálculo del argumento de un vector dadas sus coordenadas

Vamos a resolver este problema: si el vector \(\vec{v}\) tiene de coordenadas \((v_x,v_y)\), ¿cuál es su argumento?

La tangente del ángulo es el cateto opuesto partido por el cateto contiguo.

Según se puede ver en el dibujo, si llamamos \(\theta\) al ángulo que forma el vector con el semieje \(X\) positivo, la tangente de dicho ángulo es \(\displaystyle \frac{v_y}{v_x}\) (recuerda: la tangente es el cateto opuesto partido por el cateto contiguo). Entonces el argumento será:

\[\tan \theta =\frac{v_y}{v_x} \Rightarrow θ=\arctan \frac{v_y}{v_x}\]

Un problema solucionado.

Ejemplo
¿Qué ángulo forma el vector \(\vec{v}=(1,-1)\) con el eje \(X\)?

Solución:
Como acabamos de ver, la tangente del ángulo \(\theta\) la calculamos con la expresión:

\[\tan \theta =\frac{v_y}{v_x} = \frac{-1}{1}=-1\]

Por tanto, el argumento \(\theta\) es:

\[\theta=\arctan (-1)\]

Sabemos que el ángulo de \(45^{\circ}\) tiene tangente igual a \(1\). Pero como la tangente de nuestro ángulo es negativa, entonces el ángulo está en el segundo o en el cuarto cuadrante. Si nos fijamos en el signo de las coordenadas del vector, claramente está en el cuarto cuadrante (ya que la coordenada X del vector es positiva y la coordenada Y es negativa). En consecuencia, el argumento es el que corresponde al ángulo de \(45^{\circ}\) pero en el cuarto cuadrante:

\[\theta=360^{\circ}-45^{\circ}=315^{\circ}\]

El argumento es \(315^{\circ}\) o, lo que es lo mismo, \(-45^{\circ}\).

Cálculo de las coordenadas de un vector dados su módulo y su argumento

El problema ahora es el contrario: si el vector \(\vec{v}\) tiene de módulo \(v\) y de argumento \(\theta\), ¿cuáles son sus coordenadas?

El seno del ángulo es el cateto opuesto entre la hipotenusa, y el coseno es el cateto contiguo entre la hipotenusa.

De nuevo, recurriendo al dibujo y a la definición de seno (cateto opuesto entre hipotenusa) y coseno (cateto contiguo entre hipotenusa), las coordenadas \(v_x\) y \(v_y\) del vector son:

\[\operatorname{sen} \theta=\frac{v_y}{v} \Rightarrow v_y=v·\operatorname{sen} \theta\] \[\cos \theta=\frac{v_x}{v} \Rightarrow v_x=v·\cos \theta\] Otro problema resuelto.

Ejemplo
¿Cuáles son las coordenadas de un vector de módulo \(2\) que forma un ángulo de \(30 ^{\circ}\) con el eje \(X\)?

Solución:
Según acabamos de ver, las coordenadas \((v_x,v_y)\) del vector son:

\[v_x=v·\cos \theta\] \[v_y=v·\operatorname{sen} \theta\]

Como \(v=2\) y \(\theta=30 ^{\circ}\), entonces:

\[v_x=2·\cos 30 ^{\circ}=2·\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\] \[v_y=2·\operatorname{sen} 30 ^{\circ}=2·\frac{1}{2}=1\]

Por tanto el vector de módulo \(2\) que forma un ángulo de \(30 ^{\circ}\) con el eje \(X\) es el vector \((\sqrt3,1)\). Fíjate que el signo de las coordenadas es consecuente con el hecho de que el ángulo es \(30 ^{\circ}\) y, por tanto, el vector está en el primer cuadrante.

Ideas clave

➯ El argumento de un vector es el ángulo que forma el vector con el semieje \(X\) positivo.
➯ Si \((v_x,v_y)\) son las coordenadas de un vector, entonces su módulo es \(|v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) y su argumento es \(\theta=\arctan \frac{v_y}{v_x}\).
➯ Si el vector \(\vec{v}\) tiene de módulo \(v\) y de argumento \(\theta\), entonces sus coordenadas \((v_x,v_y)\) son \(v_x=v·\cos\theta\), \(v_y=v·\operatorname{sen} \theta\).

Ejercicios

Ejercicio 1

¿Cuál es el módulo y el argumento de los siguientes vectores?
a. \(\vec{u}=(-2,2)\).
b. \(\vec{v}=(-1,-2)\).
c. \(\vec{w}=(0,2)\)

a. Módulo: \(2\sqrt2\), argumento: \(135^{\circ}\).
b. Módulo: \(\sqrt5\), argumento: \(243.4^{\circ}\).
c. Módulo: \(2\), argumento: \(90^{\circ}\).

Ejercicio 2

Representa en el plano los siguientes vectores y halla sus coordenadas:
a. Vector de módulo \(1\) que forma un ángulo de \(300^{\circ}\) con el semieje \(X\) positivo.
b. Vector de módulo \(3\) que forma un ángulo de \(30^{\circ}\) con el sentido positivo del eje \(Y\).
c. Vector de módulo \(4\) que forma un ángulo de \(-90^{\circ}\) con el semieje \(X\) positivo.

a. \(\displaystyle v_x=\frac12\), \(\displaystyle v_y = -\frac{\sqrt3}{2}\).
b. \(\displaystyle v_x=-\frac32\), \(\displaystyle v_y = \frac{3\sqrt3}{2}\).
c. \(v_x=0\), \(v_y = -4\).

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Programa #1
Este programa calcula las coordenadas de un vector dados su módulo y su argumento. Modifica los datos para corregir los ejercicios.