Vectores en el espacio

Hasta ahora los vectores con los que hemos trabajado eran vectores del plano. En consecuencia solo había dos dimensiones involucradas, \(X\) e \(Y\). Pero para que los vectores puedan describir fenómenos que suceden en nuestro mundo tridimensional necesitamos incluir una tercera dimensión, \(Z\).
Afortunadamente, las características y operaciones en el plano se pueden generalizar de manera muy sencilla a los vectores en el espacio. Solo hay que tener en cuenta que en el espacio un vector necesita tres coordenadas para quedar definido: \((v_x,v_y,v_z)\). En consecuencia, a los vectores unitarios \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\) del plano tenemos que añadirle un tercer compañero: el vector \(\vec{k}\). Este vector, por analogía con \(\vec{i}\) y \(\vec{j}\), es el vector unitario en la dirección del eje \(Z\) y sentido positivo. Así, los vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes \(X\), \(Y\) y \(Z\), son, respectivamente:

\[\begin{array}{c}\vec i=(1,0,0)\\\vec j=(0,1,0)\\\vec k=(0,0,1)\end{array}\]

Los vectores unitarios en el espacio. Pincha sobre la imagen y arrastra el cursor para girarla.

Cualquier vector en el espacio se puede escribir en función de los vectores unitarios \(\vec i\), \(\vec j\) y \(\vec k\) de la siguiente manera:

\[\vec v=(v_x,v_y,v_z)=v_x \vec i+v_y \vec j+v_z \vec k\]

Mira por ejemplo el vector \(\vec v= \vec i+2 \vec j+3 \vec k\) (haz clic en la imagen y arrastra para ver el vector desde distintos ángulos):

Vector \(\vec i+2\vec j+3\vec k\).

Otra consecuencia de añadir la tercera dimensión es que el módulo de este vector será ahora:

\[|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\]

Por lo que respecta a las operaciones con vectores, simplemente hay que añadir la coordenada \(Z\) y proceder de la misma manera que en el caso de dos dimensiones.