Física en Bachillerato

Aceleración

Piensa en un animal cazando a otro para alimentarse. ¿Qué característica dirías que lo hace un buen depredador? Podríamos pensar en la velocidad; un buen ejemplo sería un guepardo persiguiendo a una gacela a 115 km/h. Pero la velocidad no es lo único que hace que un depredador sea letal para su presa. La hidra, un primitivo animal del filo Cnidaria —el mismo al que pertenecen medusas y pólipos—, posee unas células urticantes con las que lanza sobre sus presas un aguijón que les inyecta neurotoxinas paralizantes. Usando cámaras electrónicas de velocidad ultrarrápida se ha calculado que la punta de uno de estos aguijones puede alcanzar los 37 m/s —algo más de 130 km/h— y así es capaz de atravesar la cutícula de los crustáceos de los que se alimenta la hidra. Lo asombroso de este disparo no es la velocidad del aguijón, sino el tiempo que le lleva alcanzarla: 700 nanosegundos3. Teniendo en cuenta que el nanosegundo es la milmillonésima parte del segundo, a su lado el guepardo, que necesita tres segundos para llegar a su velocidad máxima, parece ahora un animal lento.

Aunque en ambos animales la velocidad alcanzada es del mismo orden de magnitud, el tiempo empleado es infinitamente menor en el caso de la hidra. Este ejemplo de supervivencia animal ilustra la importancia de la magnitud cinemática que vamos a trabajar en este apartado: la aceleración.4


Hydra

Hydra oligactis (Autor: Peter Schuchert, en WoRMS - World Register of Marine Species)


Aceleración y fuerza

Al empezar el tema de cinemática dijimos que íbamos a estudiar el movimiento de los cuerpos sin preguntarnos por qué se movían como lo hacían; ese es el objetivo de la cinemática. Sin embargo, para tener una visión más clara de los movimientos acelerados es conveniente que ahora nos hagamos esta pregunta: ¿qué provoca la aceleración en los cuerpos? Probablemente ya conoces la respuesta, porque en algún momento de los cursos anteriores habrás estudiado la segunda ley de Newton. Según esta, las aceleraciones son producidas por fuerzas que actúan sobre el cuerpo (¿recuerdas eso de \(\vec F=m·\vec a\)?). Pues bien, ese es el “significado” que le vamos a adjudicar a la aceleración: siempre que un cuerpo tenga aceleración será porque hay una fuerza actuando sobre él. Puede ser la fuerza que ejercen los músculos del guepardo, alguien que tira de una caja o la empuja, la fuerza que ejerce el motor sobre un vehículo, el viento que sopla… El agente que ejerce la fuerza sobre el cuerpo no nos preocupa (al menos por ahora; ya hablaremos de él en el tema de dinámica), pero si pensamos que una aceleración está producida por una fuerza actuando sobre el cuerpo podremos entender mejor cómo es el movimiento del cuerpo.


Aceleración media

En cursos anteriores aprendiste que la aceleración mide la relación que hay entre el cambio en la velocidad y el tiempo que lleva este cambio. En consecuencia, sin necesidad de hacer ningún cálculo vemos que la aceleración alcanzada por el aguijón de la hidra es muchísimo mayor que la que puede desarrollar el guepardo cuando persigue a su presa. Aún así, vamos a ver qué nos dicen los números.


Ejercicio

Con los datos anteriores calcula la aceleración media del guepardo y del aguijón de la hidra, y compara ambos valores.



La aceleración que estudiaste en cursos anteriores es una aceleración media. Según viste, se calcula dividiendo cuánto ha cambiado la velocidad entre el tiempo que ha llevado dicho cambio:

\[a_m=\frac {v_f-v_i}{t}\] Guepardo

Pasa de 0 a 115 km/h en 3 segundos:

\[ \left.\begin{array}{l} v_i = 0 \; m/s\\ v_f = 115 \; km/h = 31,9 \; m/s\\ t=3 \; s \end{array}\right\} \Rightarrow a_{guepardo}=\frac{v_f-v_i}{t}=10,6 \; m/s^2 \]

Aguijón de la hidra

Pasa de 0 a 37 m/s en 700 ns:

\[ \left.\begin{array}{l} v_i = 0 \; m/s\\ v_f = 37 \; m/s\\ t=700 \; ns = 7 \cdot 10^{-7} \; s \end{array}\right\} \Rightarrow a_{hidra}=\frac{v_f-v_i}{t}=5,3 \cdot 10^{7} \; m/s^2 \]

Para comparar estos valores debemos dividir una aceleración entre la otra: \[ \frac{a_{hidra}}{a_{guepardo}}=5\,000\,000 \] El resultado es asombroso: ¡la aceleración del aguijón de la hidra es cinco millones de veces mayor que la del guepardo!


Para calcular la aceleración hemos utilizado la aceleración media que conoces de otros cursos, \(a_m=\frac{v_f-v_i}{t}\). Pero esta expresión tiene una pega: no tiene en cuenta el carácter vectorial de la velocidad. Hasta ahora nos servía así, pero de ahora en adelante utilizaremos esta otra expresión para calcular la aceleración media entre los instantes t1 y t2:

\[ \vec a_m=\frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac {\vec v_2 - \vec v_1}{t_2-t_1} \]

Como ves, la definición no cambia: la aceleración media entre dos instantes se calcula dividiendo la variación de la velocidad entre el tiempo empleado en dicha variación. Es decir, la aceleración será mayor cuanto menor sea el tiempo en que cambia la velocidad, como vimos en el ejemplo de la hidra y el guepardo. Las unidades también son las conocidas, m/s2 (unidades de velocidad entre unidades de tiempo). Lo que sí ha cambiado es que la velocidad inicial y la velocidad final tenemos que expresarlas de manera vectorial. Esto tiene además otra consecuencia importantísima: la aceleración es también una magnitud vectorial.


Ejercicio

La pelota de tenis lanzada desde la torre de Pisa se mueve de acuerdo a las siguientes ecuaciones paramétricas:

\[ \left.\begin{array}{l} x(t)=2t^2\\ y(t)=10t\\ z(t)=10+10t – 5t^2 \end{array}\right\} \]

(las coordenadas están en metros y el tiempo en segundos). Calcula la aceleración media de la bola entre los instantes t=1 s y t=2 s.



La aceleración media es:

\[ \vec a_m=\frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac {\vec v_2 - \vec v_1}{t_2-t_1} \]

por tanto necesitamos la velocidad en los instantes t1 y t2. Para ello debemos derivar el vector de posición con respecto al tiempo:

\[\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t – 5t^2)\vec k \; [m]\] \[\vec v(t)=\frac {d\vec r}{dt}=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k \; [m/s]\]

Sustituyendo los valores t1=1 s y t2=2 s:

\[ \begin{array}{c} \vec v(t=1 \; s)=4\vec i+10\vec j \; [m/s]\\ \vec v(t=2 \; s)=8\vec i+10\vec j-10\vec k \; [m/s] \end{array} \]

Por tanto la aceleración media es:

\[\vec a_m=\frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac {\vec v(t=2 \; s) - \vec v(t=1 \; s)}{2-1}=4\vec i-10\vec k \; [m/s^2]\]


Aceleración constante

Las magnitudes medias, como vimos en el caso de la velocidad, no son las más adecuadas para describir el movimiento de un cuerpo. Sin embargo la aceleración media es muy útil para un caso particular: cuando el movimiento que estamos estudiando tiene aceleración constante. En ese caso entre cualesquiera dos instantes que consideremos la velocidad cambiará en la misma proporción, ya que hemos dicho que la aceleración era constante. En conclusión, en un movimiento con aceleración constante esta aceleración coincide con la media. Es decir:

\[\vec a=cte \Rightarrow \vec a=\vec a_m\]

Por tanto, si \(\vec v_i\) es la velocidad inicial y \(\vec v_f\) es la velocidad un tiempo \(\Delta t\) después, la aceleración \(\vec a\) es:

\[\vec a=\frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac {\vec v_f-\vec v_i}{\Delta t}\]

Como consecuencia, la velocidad final del cuerpo la podemos calcular como:

\[\vec v_f=\vec v_i+\vec a \cdot \Delta t\]

Ejercicio

Un barco se mueve hacia el este con velocidad \(10\vec i\) m/s. En un determinado instante se conectan los motores, que provocan una aceleración constante \(\vec a=-3\vec i+\vec j\) m/s2. ¿Cómo cambia la velocidad del barco durante los 5 segundos posteriores a encender los motores?



Los datos que tenemos son la velocidad inicial \(\vec v_0\) del barco y la aceleración \(\vec a\) (que es constante):

\[ \begin{array}{c} \vec v_0=10\vec i \; [m/s]\\ \vec a=-3\vec i+\vec j \; [m/s^2] \end{array} \]

El momento en que se conectan los motores lo consideramos el instante inicial, \(t_0=0 \;s\).
Para ver cómo cambia la velocidad del barco vamos a calcularla en los instantes t=1 s, 2 s, 3 s, 4 s y 5 s. Dado que \(\Delta t=t-t_0\) y hemos escogido \(t_0=0 \;s\), \(\Delta t\) coincide con el instante considerado.
Como la aceleración es constante podemos utilizar la definición \(\vec a=\frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac {\vec v_f-\vec v_i}{\Delta t}\). Por tanto la velocidad \(\vec v\) en cada instante la podemos calcular como:

\[\vec v=\vec v_0+\vec a \cdot \Delta t\]

Recogemos los valores obtenidos para la velocidad (en vector y en módulo) en la tabla siguiente:

\[ \begin{array}{c|c|c} t \; (s) & \vec v \; (m/s)& v \; (m/s)\\ \hline 1 & \vec v_1=7\vec i+\vec j & v_1=7,1\\ 2 & \vec v_2=4\vec i+2\vec j & v_2=4,5\\ 3 & \vec v_3=\vec i+3\vec j & v_3=3,2\\ 4 & \vec v_4=-2\vec i+4\vec j & v_4=4,5\\ 5 & \vec v_5=-5i+5j & v_5=7,1 \end{array} \]

Fíjate en el módulo de la velocidad. Como ves, debido a la aceleración provocada por la fuerza de los motores el barco primero se mueve más despacio y después empieza a aumentar la velocidad.
Pero no es ese el único efecto de la aceleración. Mira el dibujo. En él hemos representado, sobre la trayectoria del barco, las velocidades en los instantes considerados. Como en cada instante la velocidad nos indica hacia dónde se mueve un cuerpo, el barco que estaba moviéndose hacia el este termina dirigiéndose hacia el noroeste. Es decir, el barco ha girado.


Trayectoria del barco

Velocidad del barco en los instantes t=0, 1, 2, 3, 4 y 5 segundos.


La importante conclusión que podemos sacar de este resultado es la siguiente: la aceleración, además de hacer que el cuerpo cambie su velocidad en módulo, también provoca que la velocidad cambie de dirección. No lo olvides; volveremos a esto más adelante.


Aceleración instantánea

De la misma manera que hicimos cuando introdujimos la velocidad instantánea vamos a definir la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando \(\Delta t\) tiende a cero:

\[ \vec a(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \vec a_m=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}\]

Su valor es la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

\[ \vec a(t)=\frac {d\vec v(t)}{dt}\]

Por tanto, para obtener las componentes del vector aceleración derivaremos cada una de las componentes del vector velocidad:

\[\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\frac{dv_x}{dt}\vec i + \frac{dv_y}{dt}\vec j + \frac{dv_z}{dt}\vec k=a_x \vec i + a_y \vec j + a_z \vec k\]

siendo \(a_x\), \(a_y\) y \(a_z\) las componentes cartesianas de la aceleración (es decir, las componentes de la aceleración en cada uno de los ejes X, Y y Z):

\[ \begin{array}{c} a_x=\displaystyle \frac{dv_x}{dt}\\ a_y=\displaystyle \frac{dv_y}{dt}\\ a_z=\displaystyle \frac{dv_z}{dt} \end{array} \]

Ejercicio

Halla la aceleración de la pelota de tenis en el instante t=1 s, sabiendo que el vector de posición con respecto al tiempo es \(\vec r(t)= 2t^2i + 10tj + (10+10t – 5t^2)k\) m.



Derivamos el vector de posición para obtener la velocidad en función del tiempo:

\[\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}= 4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k \; [m/s]\]

y derivamos la velocidad para obtener la aceleración instantánea:

\[\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}= 4\vec i-10\vec k \; [m/s^2]\]

Para hallar la aceleración en un instante concreto solo hay que sustituir dicho valor del tiempo en la expresión de \(\vec a(t)\). Sin embargo, en este caso el valor de \(\vec a(t)\) no depende del tiempo, es decir, se trata de un movimiento con aceleración constante. Por tanto, en t=1 s (y en cualquier otro instante) la aceleración vale \(4\vec i-10\vec k\) m/s2.


Ideas clave

➯ La aceleración media entre dos instantes t1 y t2 se calcula dividiendo la variación de la velocidad entre ambos instantes entre el tiempo empleado en dicha variación: \(\vec a_m=\displaystyle \frac {\Delta \vec v}{\Delta t}=\frac{\vec v_2-\vec v_1}{t_2−t_1}\)
➯ Si el movimiento tiene aceleración constante, su aceleración coincide con la aceleración media.
➯ La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media cuando \(\Delta t\) tiende a cero: \(\vec a= \displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec v}{\Delta t}\).
➯ La aceleración instantánea se calcula derivando el vector velocidad con respecto al tiempo: \(\vec a(t)=\displaystyle \frac{d\vec v}{dt}\).



  1. Los datos han sido obtenidos del artículo Nanosecond-scale kinetics of nematocyst discharge↩

  2. Si quieres saber más sobre “superaceleración” en el mundo animal, lee el artículo “How some animals accelerate faster than all others”.↩

Física en Bachillerato. Beatriz Padín