Coordenadas de un vector

Vamos ahora a definir el vector cuyos origen y extremo son dos puntos cualesquiera del plano. Piensa en dos puntos \(A\) y \(B\). Al vector que tiene como origen el punto \(A\) y como extremo el punto \(B\) lo llamamos \(\vec{AB}\). De hecho, cuando veas dos letras mayúsculas con una flechita encima el significado siempre es el mismo: \(\vec{AB}\) es el vector de origen el punto \(A\) y extremo el punto \(B\) (ojo, el orden es importante: la primera letra es siempre el origen y la segunda el extremo del vector). Otras veces sin embargo nombraremos el vector con una letra minúscula con una flechita encima, por ejemplo, \(\vec{v}\), sin hacer referencia la origen y el extremo.
Ahora dibuja el vector \(\vec{AB}\). Si recuerdas lo que hicimos al representar el desplazamiento entre el punto del parque y el teatro, lo único que hay que hacer es dibujar una flecha que vaya de \(A\) (el origen) a \(B\) (el extremo). Bien. Hemos representado gráficamente el vector. Pero, ¿cómo podemos expresar numéricamente su valor?

Coordenadas del vector \(\vec{AB}\)

Un vector se expresa numéricamente mediante sus coordenadas. Para calcularlas necesitamos primero conocer las coordenadas del origen (punto \(A\)) y del extremo (punto \(B\)) del vector. Las coordenadas del vector \(\vec{AB}\) se obtienen restando las coordenadas de \(B\) menos las coordenadas de \(A\).
Por tanto, si el punto \(A\) tiene coordenadas \((x_1,y_1)\) y las coordenadas del punto \(B\) son \((x_2,y_2)\), entonces el vector \(\vec{AB}\) es: \[\vec{AB}=B−A=(x_2,y_2)−(x_1,y_1)=(x_2−x_1,y_2−y_1)\] Es decir, la primera coordenada del vector es la coordenada \(X\) de \(B\) menos la coordenada \(X\) de \(A\), \(x_2-x_1\), y la segunda coordenada del vector es la coordenada \(Y\) de \(B\) menos la coordenada \(Y\) de \(A\), \(y_2-y_1\).

Las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen.

Ejemplo

Dados los puntos \(A(2,3)\) y \(B(-3,1)\) representa el vector de origen \(A\) y extremo \(B\). ¿Cuáles son sus coordenadas?

Solución:
Para representar el vector dibujamos ambos puntos y los unimos con una flecha que vaya desde el origen (punto \(A\)) al extremo (punto \(B\)). Para hallar las coordenadas del vector restamos las coordenadas de \(B\) menos las coordenadas de \(A\): \[\vec{AB}=B-A=(-3,1)-(2,3)=(-3-2, 1-3)=(-5,-2)\] Es decir, \(\vec{AB}\) es el vector \((-5,-2)\).

Coordenadas de un vector

Las coordenadas del vector de origen (2,3) y extremo (-3,1) son (-5,-2).

Para pensar
Fíjate en el ejemplo y piensa que estamos hablando del vector desplazamiento. Según acabamos de calcular, el vector \(\vec{AB}\) nos lleva del punto \(A\) al punto \(B\). Sitúate en el punto \(A\) y haz lo siguiente: primero un desplazamiento horizontal y hacia la izquierda de 5 unidades, y después un desplazamiento vertical y hacia abajo de 2 unidades. ¿A dónde has llegado? Fíjate en estos dos desplazamientos y compáralos con el desplazamiento indicado por el vector \(\vec{AB}\). ¿Ves la relación?

Ideas clave

➯ Las coordenadas del vector \(\vec{AB}\) de origen el punto \(A(x_1,y_1)\) y extremo el punto \(B(x_2,y_2)\) se obtienen restando las coordenadas de \(B\) menos las coordenadas de \(A\): \(\vec{AB}=B−A=(x_2,y_2)−(x_1,y_1)=(x_2−x_1,y_2−y_1)\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Representa el vector \(\vec{PQ}\), siendo \(P(3,−2)\) y \(Q(−1,4)\), y calcula sus coordenadas.

\(\vec{PQ}=(−4,6)\)

Ejercicio 2

El origen del vector \(\vec{v}=(−3,2)\) es el punto \((1,0)\). ¿Cuál es su extremo?

Extremo: \((−2,2)\).

Ejercicio 3

Dados los puntos \(A(1,2)\) y \(B(3,−1)\) calcula y representa los vectores \(\vec{AB}\) y \(\vec{BA}\). ¿Cómo son ambos vectores? ¿Qué relación hay entre sus coordenadas?

\(\vec{AB}=(2,−3)\), \(\vec{BA}=(−2,3)\). Sus coordenadas son opuestas.

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Este sencillo programa calcula las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de su origen y su extremo. Analiza el código línea a línea, verás que es muy fácil de entender. Pulsa el botón “Evaluar” para ver el resultado.

Programa #2

En el programa anterior, cambia los valores de las coordenadas del origen y el extremo y observa cómo cambia el resultado. Por ejemplo, ¿cómo son las coordenadas del vector en los siguientes casos?:

Si el origen es el punto \((0,0)\).
Si el origen y el extremo coinciden.

Piensa la respuesta y utiliza el programa anterior para comprobarla.

Programa #3

En uno de los ejercicios se da como dato un vector y las coordenadas de su origen, y se pide que calcules las coordenadas del extremo. Una vez que lo hayas resuelto en papel, modifica el programa anterior de manera que te sirva para resolver ese ejercicio.

# ---------- DATOS ------------
# Coordenadas del vector (vx,vy)
vx = -3
vy = 2

# Coordenadas del origen (x1,y1)
x1 = 1
y1 = 0
# ------------------------------

# Coordenadas del extremo (x2, y2)=(vx + x1, vy + y2)
x2 = vx + x1
y2 = vy + y1

# Salida por pantalla
print("Vector:", (vx,vy))
print("Origen:", (x1,y1))
print("Extremo:", (x2,y2))