Coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$

Un vector se expresa numéricamente mediante sus coordenadas. Para calcularlas necesitamos primero conocer las coordenadas del origen (punto $A$) y del extremo (punto $B$) del vector. Las coordenadas del vector $\overrightarrow{AB}$ se obtienen restando las coordenadas de $B$ menos las coordenadas de $A$.
Por tanto, si el punto $A$ tiene coordenadas $(x_1,y_1)$ y las coordenadas del punto $B$ son $(x_2,y_2)$, entonces el vector $\overrightarrow{AB}$ es: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(x_2,y_2)-(x_1,y_1)=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$ Es decir, la primera coordenada del vector es la coordenada $X$ de $B$ menos la coordenada $X$ de $A$, $x_2-x_1$, y la segunda coordenada del vector es la coordenada $Y$ de $B$ menos la coordenada $Y$ de $A$, $y_2-y_1$.

Las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas del extremo menos las del origen.

Dados los puntos $A(2,3)$ y $B(-3,1)$ representa el vector de origen $A$ y extremo $B$. ¿Cuáles son sus coordenadas?

Solución:
Para representar el vector dibujamos ambos puntos y los unimos con una flecha que vaya desde el origen (punto $A$) al extremo (punto $B$). Para hallar las coordenadas del vector restamos las coordenadas de $B$ menos las coordenadas de $A$: $$\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1)-(2,3)=(-3-2,1-3)=(-5,-2)$$ Es decir, $\overrightarrow{AB}$ es el vector $(-5,-2)$.

Las coordenadas del vector de origen (2,3) y extremo (-3,1) son (-5,-2).

Para pensar
Fíjate en el ejemplo y piensa que estamos hablando del vector desplazamiento. Según acabamos de calcular, el vector $\overrightarrow{AB}$ nos lleva del punto $A$ al punto $B$. Sitúate en el punto $A$ y haz lo siguiente: primero un desplazamiento horizontal y hacia la izquierda de 5 unidades, y después un desplazamiento vertical y hacia abajo de 2 unidades. ¿A dónde has llegado? Fíjate en estos dos desplazamientos y compáralos con el desplazamiento indicado por el vector $\overrightarrow{AB}$. ¿Ves la relación?

Ideas clave

Ejercicios

Física con Sage

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Programa #1
Este sencillo programa calcula las coordenadas de un vector a partir de las coordenadas de su origen y su extremo. Analiza el código línea a línea, verás que es muy fácil de entender. Pulsa el botón “Evaluar” para ver el resultado.

xxxxxxxxxx

# ---------- DATOS ------------

# Coordenadas del origen (x1,y1)

x1 = 2

y1 = 3

​

# Coordenadas del extremo (x2,y2)

x2 = -3

y2 = 1

# ------------------------------

​

# Coordenadas del vector (vx,vy)=(x2-x1, y2-y1)

vx = x2 - x1

vy = y2 - y1

​

# Salida por pantalla

print("Origen:", (x1,y1))

print("Extremo:", (x2,y2))

print("Vector:", (vx,vy))

En el programa anterior, cambia los valores de las coordenadas del origen y el extremo y observa cómo cambia el resultado. Por ejemplo, ¿cómo son las coordenadas del vector en los siguientes casos?:

• Si el origen es el punto $(0,0)$.
• Si el origen y el extremo coinciden.

Piensa la respuesta y utiliza el programa anterior para comprobarla.

En uno de los ejercicios se da como dato un vector y las coordenadas de su origen, y se pide que calcules las coordenadas del extremo. Una vez que lo hayas resuelto en papel, modifica el programa anterior de manera que te sirva para resolver ese ejercicio.

# ---------- DATOS ------------
# Coordenadas del vector (vx,vy)
vx = -3
vy = 2

# Coordenadas del origen (x1,y1)
x1 = 1
y1 = 0
# ------------------------------

# Coordenadas del extremo (x2, y2)=(vx + x1, vy + y2)
x2 = vx + x1
y2 = vy + y1

# Salida por pantalla
print("Vector:", (vx,vy))
print("Origen:", (x1,y1))
print("Extremo:", (x2,y2))