Vector de posición

Al introducir las ecuaciones paramétricas dijimos que gracias a ellas podíamos conocer cualquier magnitud cinemática. Pero para ello debemos obtener primero otra magnitud: el vector de posición. Haz el ejercicio que tienes a continuación, en el que se te indica paso a paso cómo calcular el vector de posición de nuestra pelota de tenis.

Ejercicio

Una vez establecido el sistema de referencia, lanzamos la bola y ponemos en marcha el cronómetro. En un determinado instante \(t\) la bola está en un punto \(P\) de coordenadas \((x,y,z)\). Dibuja los ejes de coordenadas, la trayectoria de la bola y el punto \(P\).
Representa el vector que va desde el origen \(O\) del sistema de referencia hasta el punto \(P\). Ese es el vector de posición de la bola en el instante \(t\). Fácil, ¿no?
Calcula ahora las coordenadas del vector de posición. Para ello recuerda que las coordenadas de un vector se obtienen restando las coordenadas del extremo, \(P\), menos las del origen, \(O\). Halla las coordenadas y expresa el vector en función de los vectores unitarios i, j y k. Ya tienes las coordenadas del vector de posición en el instante \(t\).
Has obtenido el vector de posición cuando el móvil está en el punto de coordenadas \((x,y,z)\). Pero la bola se mueve. ¿Cuál será su vector de posición cuando, un instante después, esté en la posición \((x’,y’,z’)\)? ¿O cuando esté, más tarde, en otra posición? Afortunadamente sabes cómo cambian \(x\), \(y\) y \(z\) según va pasando el tiempo, ya que conoces las ecuaciones paramétricas del movimiento. Entonces, en lugar de \(x\), escribe su expresión en función del tiempo \(x(t)\), y lo mismo con las coordenadas \(y\) y \(z\). Pues ahí lo tienes. Acabas de escribir el vector de posición de la pelota en función del tiempo, \(\vec r(t)\), que te va a permitir saberlo todo sobre su movimiento.

Recapitulemos lo que hemos visto en el ejercicio. El vector de posición de una partícula en un instante \(t\) es el vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto donde está situada la partícula en dicho instante. Dado que las coordenadas del origen son \((0,0,0)\) y las coordenadas del punto en cualquier instante son \((x(t),y(t),z(t))\), el vector de posición en función del tiempo, \(\vec r(t)\), es: \[\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\] donde las coordenadas \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\) vienen dadas por las ecuaciones paramétricas del movimiento.

Vector de posición cuando el móvil está en el punto P(x,y,z).

Ejercicio 1

Sabiendo que las ecuaciones paramétricas del movimiento de la pelota de tenis son: \[ \left.\begin{array}{l} x(t) = 2t^2\\ y(t) = 10t\\ z(t) = 10 + 10t - 5t^2 \end{array}\right\} \] escribe su vector de posición en función del tiempo.

El vector de posición de la bola en el instante \(t\), \(\vec r(t)\), es el vector que va desde el origen de coordenadas \(O\) hasta el punto \(P\) donde está situada la bola en ese instante. Es decir:

El origen del vector de posición es el origen de coordenadas, \(O\). Sus coordenadas son \((0,0,0)\).
El extremo del vector de posición es el punto \(P\) donde se encuentra el móvil en un instante \(t\). Sus coordenadas son \((x(t),y(t),z(t))\).

En consecuencia, las coordenadas del vector de posición son las coordenadas del extremo \(P\) menos las del origen \(O\): \[\vec r(t)=(x(t),y(t),z(t))-(0,0,0)=(x(t),y(t),z(t))=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\] Por otro lado, dado que conocemos las ecuaciones paramétricas del movimiento, sabemos cómo es la dependencia de \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\) con el tiempo. Por tanto: \[\vec r(t)=2t^2\vec i+10t\vec j+(10 + 10t - 5t^2)\vec k\] Este es el vector de posición de la pelota de tenis en cualquier instante \(t\).

Ejercicio 2

Escribe el vector de posición de la pelota de tenis del ejemplo en el instante t=1 s.

Sustituyendo el valor de \(t\) en la expresión del ejemplo: \[\vec r(1)=2\vec i+10\vec j+15\vec k \; [m]\] En consecuencia, en dicho instante la bola está en el punto \((2,10,15)\).

Ideas clave

➯ El vector de posición de una partícula en un instante \(t\) es un vector cuyo origen es el origen de coordenadas y cuyo extremo es el punto \((x,y,z)\) donde está situada la partícula en dicho instante.
➯ El vector de posición de una partícula en función del tiempo es \(\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\), donde las coordenadas \(x(t)\), \(y(t)\) y \(z(t)\) vienen dadas por las ecuaciones paramétricas del movimiento.

Física con Sage

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Programa #1
Este programa calcula el vector de posición del cuerpo en el instante t_i=1 s. Modifica el valor de t_i para hallar el vector de posición en cualquier otro instante.

Programa #2
Con este programa se muestra gráficamente la posición y el vector de posición del cuerpo en el instante t_i=1 s, además de representar la trayectoria entre los instantes t=0 s y t=3 s. Modifica el valor de t_i para ver el vector de posición en cualquier otro instante.