Producto de un escalar por un vector

Otra operación muy habitual cuando se trabaja con vectores es el producto de un escalar por un vector. Un escalar no es otra cosa que un número. Entonces, si tenemos un vector \(\vec{v}\) y lo multiplicamos por, digamos, dos, el resultado va a ser el esperado: obtenemos el doble del vector \(\vec{v}\). Lo mismo sucede si lo multiplicamos por \(1/2\): el resultado es la mitad de \(\vec{v}\). Pero, ¿qué quiere decir “el doble” o “la mitad” de un vector? ¿Y qué pasa si multiplicamos el vector por un número negativo?

Vector \(k·\vec{v}\)

Para responder las preguntas anteriores lo primero que hay que tener en cuenta es que el resultado de multiplicar un escalar \(k\) por un vector \(\vec{v}\) es otro vector. Dicho esto, veamos qué características tiene este vector \(k·\vec{v}\) (suponiendo que \(k\ne0\)).

El módulo de \(k·\vec{v}\) es \(|k|\) veces el módulo de \(\vec{v}\) (recuerda que \(|k|\) quiere decir valor absoluto de \(k\)):

\[|k \cdot \vec{v}|=|k| \cdot |\vec{v}|\]
Ese es precisamente el significado de “el doble” de un vector: otro vector cuyo módulo es el doble. Además, no importa que multipliquemos el vector por \(2\) o por \(-2\): en ambos casos, el vector resultante tendrá de módulo \(2\) veces el módulo de \(\vec{v}\).
En cuanto a la dirección de \(k·\vec{v}\), va a ser la misma que la dirección de \(\vec{v}\). Es decir, multiplicar un número por un vector no cambia la dirección del vector.
Lo que sí puede cambiar es el sentido. De hecho, si \(\vec{v}\) se multiplica por un escalar positivo el sentido de \(k·\vec{v}\) es el mismo que el de \(\vec{v}\), pero si el escalar es negativo entonces el sentido de \(k·\vec{v}\) es opuesto al de \(\vec{v}\).

Si \(k\) es positivo, \(k·\vec{v}\) tiene el mismo sentido que \(\vec{v}\); si \(k\) es negativo, \(k·\vec{v}\) tiene sentido contrario a \(\vec{v}\). Si \(|k|<1\), el módulo de \(k·\vec{v}\) es menor que el módulo de \(\vec{v}\); si \(|k|>1\), el módulo de \(k·\vec{v}\) es mayor que el módulo de \(\vec{v}\).

Cálculo de \(k·\vec{v}\)

Ahora que sabemos el significado de multiplicar un vector por un escalar, veamos cómo podemos calcular ese producto analíticamente. Si el vector \(\vec{v}\) tiene de coordenadas \((v_x,v_y)\), entonces el producto del escalar \(k\) por el vector \(\vec{v}\) se obtiene multiplicando cada una de las coordenadas del vector por el escalar. Es decir:

\[k·\vec{v}=(k·v_x,k·v_y)\]
Ejemplo
Calcula el producto del vector \(\vec{v}=(2, -1)\) por el escalar \(-2\).

Solución:
\[-2·\vec{v}=-2·(2,-1)=(-4,2)\]

Ideas clave

➯ El producto de un escalar \(k\) por un vector \(\vec{v}\) es un vector que tiene las siguientes características:

su módulo es \(|k| \cdot \vec{v}\)
su dirección es la misma que \(\vec{v}\)
su sentido es:
- el mismo que el de \(\vec{v}\), si \(k>0\)
- opuesto al de \(\vec{v}\), si \(k<0\)

➯ Para multiplicar el vector \(\vec{v}=(v_x,v_y)\) por el escalar \(k\) multiplicamos cada una de las coordenadas del vector por el escalar: \(k·\vec{v}=(k·v_x,k·v_y)\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Calcula el módulo del vector \(k·\vec{v}\) del ejemplo y comprueba que es igual a \(|k|\) veces el módulo de \(\vec{v}\).

\[|k\vec{v}|=\sqrt{20}=2\sqrt5\] \[\left.\begin{matrix} |k|=2\\ |\vec{v}|=\sqrt5 \end{matrix}\right\} \Rightarrow |k| |\vec{v}|=2\sqrt5\]

Ejercicio 2

Dados los vectores \(\vec{u}=(0,3)\) y \(\vec{v}=(−1,1)\), halla el vector \(-\frac{1}{3}\vec{u}+2\vec{v}\).

\((−2,1)\)

Ejercicio 3

Halla gráficamente la suma del ejercicio anterior.

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Usando como guía los programas anteriores, escribe un programa que calcule el producto de un vector por un escalar.

# ------- DATOS ----------
# Coordenadas del vector
vx = 2
vy = -1
# Escalar
k = -2
# -------------------------

print("Vector:",(vx,vy))
print("Escalar:", k)
print("Producto del escalar por el vector:", (k*vx,k*vy))

Programa #2
Modifica el programa anterior de manera que, además, muestre por pantalla el valor del módulo de \(\vec v\) y del módulo de \(k·\vec v\).

# ------- DATOS ----------
# Coordenadas del vector
vx = 2
vy = -1
# Escalar
k = -2
# -------------------------

# Coordenadas del escalar por el vector
kvx = k*vx
kvy = k*vy

# Salida por pantalla
print("Vector:",(vx,vy))
print("Escalar:", k)
print("Producto del escalar por el vector:", (kvx,kvy))
print("Módulo de v:", sqrt(vx^2+vy^2))
print("Módulo de k·v:", sqrt(kvx^2+kvy^2))