Componentes intrínsecas de la aceleración

Componentes intrínsecas de la aceleración

De la definición de aceleración debe quedarnos claro lo siguiente: si hay un cambio en la velocidad habrá aceleración. Pero esta afirmación puede parecer engañosa: si un móvil se mueve siempre a 2 m/s, entonces su velocidad no cambia y, en consecuencia, no tiene aceleración, ¿cierto? La respuesta es: depende. Para poder aclarar este aspecto debemos recordar que la velocidad es un vector que, en cada punto, es tangente a la trayectoria y tiene el sentido del movimiento. Fíjate entonces en estos dos ejemplos. En ambos casos el móvil se desplaza a 2 m/s, pero en el primer caso sigue una trayectoria rectilínea y en el segundo caso describe una trayectoria circular. ¿Dirías que la velocidad cambia o no?

En el movimiento rectilíneo de la izquierda la velocidad se mantiene constante tanto en módulo como en dirección y sentido. En el movimiento circular de la derecha la velocidad no cambia en módulo, pero sí lo hace en dirección.

Aunque en ambos movimientos la velocidad, en módulo, es siempre la misma (v=2 m/s), en el caso del movimiento rectilíneo el vector velocidad se mantiene constante, mientras que en el movimiento circular el vector velocidad no se mantiene constante, ya que su dirección está cambiando continuamente. Por tanto, el móvil que se desplaza en la trayectoria rectilínea no tiene aceleración (el vector velocidad es el mismo en todos los puntos de su recorrido) y el móvil que describe una trayectoria circular sí tiene aceleración (el vector velocidad es distinto en los diferentes puntos del recorrido).

Pues bien, en este apartado estudiaremos por separado qué sucede cuando lo que cambia es el módulo de la velocidad y cuando lo que cambia es su dirección. Para ello primero necesitamos “dividir” el vector velocidad en dos partes diferenciadas: una que haga referencia al módulo y otra que lleve la información de la dirección. Pero eso ya lo hemos hecho anteriormente: cuando calculamos el vector unitario en la dirección de la velocidad expresamos el vector velocidad como el producto de su módulo, \(|\vec v|\), por un vector unitario de su misma dirección y sentido, \(\vec u_t\) (vector que era tangente a la trayectoria en cada punto): \(\vec v=|\vec v|·\vec u_t\).

El vector velocidad \(\vec v\) lo podemos escribir como el producto de su módulo, \(|\vec v|\), por un vector unitario de su misma dirección y sentido, \(\vec u_t\).

Ya tenemos la velocidad expresada con la parte del módulo, \(|\vec v|\), separada de la parte de la dirección, \(\vec u_t\). Por otro lado, la aceleración, como acabamos de ver, es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. ¿Puedes ahora calcular cuánto vale la aceleración?

Ejercicio

Calcula la aceleración teniendo en cuenta que \(\vec v=|\vec v|·\vec u_t\).

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

\[\vec a=\frac {d\vec v}{dt}\]

Como la velocidad es \(\vec v=|\vec v|·\vec u_t\), entonces la derivada que hay que hacer es:

\[\frac {d\vec v}{dt}=\frac {d(|\vec v|·\vec u_t)}{dt}\]

Es decir, hay que derivar un producto. La derivada del producto de dos factores es igual a la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo; por tanto la derivada de \(|\vec v|·\vec u_t\) es:

\[\frac {d(|\vec v|·\vec u_t)}{dt}=\frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t+|\vec v|·\frac {d\vec u_t}{dt}\]

En resumen, si expresamos la velocidad como \(\vec v=|\vec v|·\vec u_t\), y teniendo en cuenta cómo se deriva un producto, la aceleración es:

\[\vec a=\frac {d\vec v}{dt}=\frac {d(|\vec v|·\vec u_t)}{dt}=\frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t+|\vec v|·\frac {d\vec u_t}{dt}\]

Fíjate en la expresión que hemos obtenido: la aceleración queda expresada como una suma. El primer sumando, \(\frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t\), se llama aceleración tangencial, \(\vec a_t\), y el segundo, \(|\vec v|·\frac {d\vec u_t}{dt}\), se llama aceleración normal, \(\vec a_n\). Por tanto la aceleración se puede escribir como la suma de estas dos aceleraciones:

\[\vec a=\vec a_t+\vec a_n\] donde: \[ \begin{array}{c} \vec a_t=\displaystyle \frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t\\ \vec a_n=\displaystyle |\vec v|·\frac {d\vec u_t}{dt} \end{array} \]

Los vectores aceleración tangencial y aceleración normal son las llamadas componentes intrínsecas de la aceleración.

Cálculo de las componentes intrínsecas de la aceleración.

En estos momentos probablemente te estés preguntando lo siguiente: ¿qué interés puede tener escribir la aceleración como la suma de \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\)? Antes de lanzarnos al estudio de las componentes intrínsecas de la aceleración para entender su significado físico vamos a introducir un par de conceptos que debemos tener claros: el centro y el radio de curvatura de la trayectoria, y los vectores unitarios tangente y normal a la trayectoria.

Centro y radio de curvatura

El desarrollo matemático de estos conceptos geométricos se escapa de los objetivos de este curso, así que lo veremos de una manera poco rigurosa pero suficiente a efectos prácticos. Piensa en un punto sobre la trayectoria del móvil. En las cercanías del punto la trayectoria tiene una determinada curvatura, es decir, se puede representar como si fuese un arco de circunferencia. Si tuvieses que usar un compás para representar ese “trocito” de curva alrededor del punto, ¿dónde pincharías con el compás? Ese punto es el centro de curvatura. La distancia entre el centro de curvatura y el punto considerado sobre la trayectoria es el radio de curvatura, de manera que cuanto más “curvada” sea la trayectoria en ese punto (cuanto más cerrada sea la curva), menor será el radio de curvatura, y cuanto más “recta” sea la trayectoria (cuanto más abierta sea la curva), mayor será el radio.

El punto A tiene mayor curvatura que el punto B, por tanto el radio de curvatura en A es menor que el radio de curvatura en B.

Es importante que te des cuenta de que, en la imagen del dibujo, el radio de curvatura es diferente en cada punto de la trayectoria. Hay, sin embargo, un caso particular de trayectoria en el que esto no es así: una circunferencia. Si el movimiento es circular el radio de curvatura en todos los puntos de la trayectoria es el mismo y, como cabría esperar, coincide con el radio de la circunferencia. Además, el centro de curvatura está situado en el centro de la circunfencia.

Radio de curvatura de una circunferencia

En un movimiento circular, todos los puntos de la trayectoria tienen el mismo radio de curvatura: el radio de la circunferencia, R.

Y como caso límite tenemos a la recta, cuyo radio de curvatura se puede considerar infinito.

Vectores unitarios tangente y normal

Los vectores unitarios tangente y normal a la trayectoria en cada punto, \(\vec u_t\) y \(\vec u_n\), respectivamente, tienen gran importancia en el estudio de las componentes intrínsecas de la aceleración. Vamos a introducirlos con el siguiente ejemplo. Una partícula sale del punto A y llega al punto B siguiendo la trayectoria del dibujo:

En cada uno de los puntos señalados (puntos 1, 2 y 3) vamos a dibujar el vector tangente \(\vec u_t\) y el vector normal \(\vec u_n\). Para ello primero debemos representar los ejes tangente y normal a la trayectoria en dichos puntos. Estos son los llamados ejes intrínsecos. Como su nombre indica, los ejes intrínsecos son propios de la partícula, es decir, a medida que la partícula se mueve sobre la trayectoria estos ejes van cambiando según el punto en que se encuentre. Para representarlos considera un punto sobre la trayectoria. La dirección del eje tangente es la de la recta tangente a la trayectoria en el punto, y la dirección del eje normal es perpendicular a dicha recta tangente (en matemáticas, normal quiere decir perpendicular).

Ejercicio

Dibuja los ejes intrínsecos en los puntos 1, 2 y 3.

Los ejes intrínsecos en los puntos 1, 2 y 3 son así:

Una vez establecidos los ejes intrínsecos, los vectores unitarios \(\vec u_t\) y \(\vec u_n\) en cada punto tienen las siguientes características:

\(\vec u_t\) es un vector unitario en la dirección y sentido de la velocidad. Por tanto, su dirección es la del eje tangente y su sentido viene dado por el sentido de avance de la partícula sobre la trayectoria.
\(\vec u_n\) es también un vector de módulo 1. Su dirección es la del eje normal (es, por tanto, perpendicular a la velocidad) y su sentido es hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

Ejercicio

¿Puedes dibujar los vectores \(\vec u_t\) y \(\vec u_n\) en los puntos considerados?

Estos son los vectores \(\vec u_t\) y \(\vec u_n\) en los puntos 1, 2 y 3:

La importancia de estos vectores radica en el hecho de que, como cabría esperar, las aceleraciones tangencial y normal tienen la dirección de \(\vec u_t\) y \(\vec u_n\), respectivamente.

Aceleración tangencial

Vamos a analizar la componente tangencial de la aceleración. Según calculamos antes, la aceleración tangencial es:

\[\vec a_t=\frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t\]

De esta expresión podemos sacar las siguientes conclusiones:

\(\vec a_t\) se calcula derivando el módulo de la velocidad con respecto al tiempo. Como sabes por matemáticas, la derivada de una función indica lo rápido que cambia la función en cada punto; por tanto, la aceleración tangencial mide cómo varía el módulo de la velocidad en cada instante.
También estudiaste en matemáticas que una función es creciente o decreciente en un punto dependiendo del signo de la derivada de la función en dicho punto; entonces, si \(\frac {d|\vec v|}{dt}>0\) el módulo de la velocidad aumenta en el instante considerado (la partícula va más rápido), y si \(\frac {d|\vec v|}{dt}<0\) el módulo de la velocidad disminuye (la partícula va más lenta).
Como \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) es un escalar, \(\vec u_t\) indica la dirección de la aceleración tangencial. Sabemos que \(\vec u_t\) es el vector unitario en la dirección y sentido del vector velocidad (es tangente a la trayectoria en el sentido de avance de la partícula). Por tanto, \(\vec a_t\) es un vector que tiene la misma dirección que la velocidad, es decir, la aceleración tangencial es tangente a la trayectoria en cada punto (de ahí su nombre).
En cuanto al sentido de la aceleración tangencial, depende del signo de \(\frac {d|\vec v|}{dt}\):
- Si \(\frac {d|\vec v|}{dt}>0\) (entonces, como vimos, la partícula aumenta su velocidad), \(\vec a_t\) tiene el mismo sentido que \(\vec u_t\) y, en consecuencia, que \(\vec v\).
- Si \(\frac {d|\vec v|}{dt}<0\) (la partícula disminuye su velocidad) \(\vec a_t\) es de sentido contrario a \(\vec u_t\), y en consecuencia, tiene sentido contrario a \(\vec v\).

En definitiva, lo importante sobre la aceleración tangencial lo podemos resumir así:

Indica cómo varía la velocidad en módulo.
Su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto.
Su sentido es el mismo que \(\vec v\) si la velocidad aumenta, y opuesto a \(\vec v\) si la velocidad disminuye.

La aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad. Si tiene el mismo sentido (izquierda), entonces la partícula aumenta su velocidad; si tiene sentido contrario (derecha), la partícula disminuye su velocidad.

Cálculo de la aceleración tangencial

Hemos visto cómo es el vector aceleración tangencial y cuál es su significado. Veamos ahora cómo obtener su valor en un determinado instante. Para ello partimos de la expresión: \[\vec a_t= \frac {d|\vec v|}{dt}·\vec u_t\] Según esta, necesitamos calcular dos cosas: \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) y \(\vec u_t\). Por tanto, los pasos que se deben seguir son los siguientes:

Para hallar \(\frac {d|\vec v|}{dt}\):
- Se calcula el vector velocidad instantánea en función del tiempo.
- Se halla el módulo de este vector.
- Se deriva este módulo.
- En la derivada anterior se sustituye el tiempo por el instante considerado. Este valor es \(\frac {d|\vec v|}{dt}\).
Para hallar \(\vec u_t\):
- Se obtiene el valor del vector velocidad en el instante considerado.
- Se halla el módulo de la velocidad en dicho instante.
- Se divide el vector velocidad entre su módulo. Este cociente, \(\frac {\vec v}{|\vec v|}\), es \(\vec u_t\) en el instante considerado.
Se multiplica \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) (obtenido en el punto 1) por \(\vec u_t\) (el resultado del punto 2). Este producto es la aceleración tangencial en el instante dado.

Un poco lioso, ¿no? Veamos un ejemplo para aclararlo.

Ejercicio

Calcula la aceleración tangencial de la pelota de tenis en t=1 s, sabiendo que el vector de posición en función del tiempo es \(\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t – 5t^2)\vec k\) metros.

Paso 1. Cálculo de \(\frac {d|\vec v|}{dt}\)

Empezamos calculando \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) en t=1 s. El vector velocidad es:

\[\vec v=\frac {d\vec r}{dt}= 4t\vec i + 10\vec j + (10-10t)\vec k\; [m/s]\]

cuyo módulo es:

\[|\vec v|=\sqrt{116t^2-200t+200} \; [m/s]\]

Derivamos el módulo de la velocidad (recuerdas cómo se deriva una raíz cuadrada, ¿verdad?):

\[\frac {d|\vec v|}{dt}=\frac {232t-200}{2\sqrt{116t^2-200t+200}} \; [m/s^2]\]

Una vez calculada la derivada de \(|\vec v|\) (y no antes), sustituimos el tiempo por el valor considerado, en este caso t=1 s:

\[\left. \frac {d |\vec v|}{dt} \right|_{t=1\;s} = \frac{16}{\sqrt{116}}=\frac{8\sqrt{29}}{29} \; [m/s^2]\] Paso 2. Cálculo de \(\vec u_t\)

Ahora necesitamos el valor del vector unitario \(\vec u_t\) en el instante t=1 s. Como \(\vec u_t=\frac{\vec v}{|\vec v|}\), hallamos el vector velocidad y su módulo en dicho instante:

\[\vec v(t)=4t\vec i + 10\vec j + (10-10t)\vec k \; [m/s]\] \[\vec v(1)=4\vec i + 10\vec j \; [m/s]\] \[|\vec v(1)|=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \; [m/s]\] Por tanto el vector \(\vec u_t\) en t=1 s es: \[\vec u_t(1)=\frac {\vec v(1)}{|\vec v(1)|} = \frac {2\sqrt{29}}{29} \vec i + \frac {5\sqrt{29}}{29} \vec j\]

Paso 3. Producto de \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) por \(\vec u_t\)

Finalmente, multiplicando \(\frac {d|\vec v|}{dt}\) por \(\vec u_t\) (en t=1 s) obtenemos el valor de la aceleración tangencial:

\[\vec a_t(1)= \frac {d|\vec v|}{dt} · \vec u_t=\frac{8\sqrt{29}}{29}·\left ( \frac {2\sqrt{29}}{29} \vec i + \frac {5\sqrt{29}}{29} \right )=\frac{16}{29}\vec i+\frac{40}{29}\vec j \; [m/s^2]\] Análisis del resultado

Como \(\vec a_t \neq 0\) sabemos que la velocidad de la bola, en módulo, está cambiando. De hecho, en t=1 s hemos obtenido que \(\frac{d|\vec v|}{dt}>0\), por tanto la bola está aumentando su velocidad.

Tipo de movimiento según la aceleración tangencial

La aceleración tangencial mide cómo cambia el módulo de la velocidad. Nos informa de si el cuerpo se mueve cada vez más rápido o más despacio; de hecho, esta es la aceleración con la que has trabajado en cursos anteriores. A los movimientos que tienen aceleración tangencial se les llama acelerados. A veces sucede que esta aceleración es constante; en ese caso el movimiento decimos que es uniformemente acelerado. Un aviso: recuerda que estamos en clase de Física y el lenguaje “de la calle” no siempre coincide con lo científicamente correcto; acelerado solo quiere decir que la velocidad cambia, pero puede cambiar en el sentido de aumentar o de disminuir.

Pero, ¿qué sucede si la aceleración tangencial es cero? Que la aceleración tangencial sea cero quiere decir que el módulo de la velocidad no cambia. Y un movimiento cuya velocidad no cambia en módulo se llama uniforme.

En resumen, atendiendo al valor de la aceleración tangencial el movimiento puede ser:

uniforme, si \(\vec a_t=\vec 0\)
acelerado, si \(\vec a_t \neq \vec 0\) (si \(\vec a_t=cte\) el movimiento es uniformemente acelerado)

Para pensar

¿Cómo demostrarías matemáticamente que si \(\vec a_t=\vec 0\) entonces el movimiento es uniforme?

Aceleración normal o centrípeta

La otra componente intrínseca de la aceleración es la normal. La aceleración normal, también llamada centrípeta, es, como vimos, \(\vec a_n=v·\frac{d\vec u_t}{dt}\). Es decir, se obtiene derivando el vector \(\vec u_t\). Como este vector indica la dirección de la velocidad, podemos sacar la siguiente conclusión: la aceleración normal mide, en cada instante, cómo varía la dirección de la velocidad.
Por otro lado, se puede demostrar (no lo haremos porque excede a los objetivos del curso) que la aceleración normal es igual a:

\[\vec a_n=\frac{v^2}{R}·\vec u_n\]

donde:

\(v\) es el módulo de la velocidad en un instante determinado,
\(R\) es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto donde se encuentra la partícula en dicho instante, y
\(\vec u_n\) es el vector unitario normal a la trayectoria en el instante considerado.

A partir de esta expresión podemos deducir las características del vector \(\vec a_n\):

Como \(\vec u_n\) es un vector unitario, el módulo de la aceleración normal es \(a_n=\displaystyle \frac {v^2}{R}\).
Dado que \(\frac {v^2}{R}\) es un escalar siempre positivo, la dirección y el sentido de \(\vec a_n\) son los de \(\vec u_n\) En consecuencia, la aceleración normal es perpendicular a la velocidad en cada punto y su sentido es hacia el centro de curvatura.
Dado que su dirección y sentido son los de \(\vec u_n\), la aceleración normal o centrípeta siempre apunta hacia el centro de curvatura; por tanto, indica hacia dónde gira el cuerpo (de hecho, centrípeta quiere decir “que atrae hacia el centro”).

La aceleración normal es la responsable de que el cuerpo gire.

En resumen:

La aceleración normal indica cómo varía la dirección de la velocidad.
Su módulo es \(a_n=\displaystyle \frac {v^2}{R}\).
Su dirección es perpendicular a velocidad.
Está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en cada punto.

Cálculo de la aceleración normal

El siguiente paso es hallar el valor de la aceleración normal de la partícula en un determinado instante (esta es mucho más sencilla de calcular que la aceleración tangencial). Como en cada instante la aceleración \(\vec a\) es la suma de \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\), la aceleración normal se calcula de la siguiente manera:

\[\vec a=\vec a_t+\vec a_n \Rightarrow \vec a_n=\vec a-\vec a_t\]

Por tanto para calcular \(\vec a_n\) en cada instante debemos obtener tanto la aceleración total (que se calcula derivando \(\vec v\) con respecto al tiempo) como la tangencial (para ello se deben seguir los pasos indicados en el apartado correspondiente), y restar ambos vectores.

Ejercicio

Calcula la aceleración normal de la pelota de tenis en t=1 s. El vector de posición en función del tiempo es \(\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t – 5t^2)\vec k\) (las coordenadas están en metros y el tiempo en segundos), y la aceleración tangencial que calculamos en un ejercicio anterior es, en t=1 s, \(\vec a_t=\displaystyle \frac{16}{29}\vec i+\frac{40}{29}\vec j\) m/s².

Calculamos la aceleración en función del tiempo derivando dos veces el vector de posición:

\[\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t – 5t^2)\vec k \; [m]\] \[\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k \; [m/s]\] \[\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}=4\vec i-10\vec k \; [m/s^2]\]

Como necesitamos la aceleración en el instante t=1 s sustituimos este valor del tiempo en la expresión de \(\vec a(t)\). En este caso la aceleración es constante, por tanto:

\[\vec a(1)=4\vec i-10\vec k \; [m/s^2]\]

Del ejemplo anterior conocemos \(\vec a_t\) en t=1 s:

\[\vec a_t(1)=\displaystyle \frac{16}{29}\vec i+\frac{40}{29}\vec j \; [m/s^2]\]

Por tanto:

\[\vec a_n(1)=\vec a(1)-\vec a_t(1)=\frac{100}{29}\vec i- \frac{40}{29}\vec j - 10\vec k \; [m/s^2]\]

Como \(\vec a_n \neq \vec 0\), sabemos que la bola está cambiando la dirección de su movimiento.

Radio de curvatura

Como acabamos de ver, el módulo de la aceleración normal es \(a_n=\frac {v^2}{R}\), donde \(v\) es el módulo de la velocidad en un instante y \(R\) el radio de curvatura de la trayectoria en el punto correspondiente. En consecuencia podemos calcular el radio de curvatura de la trayectoria en la posición que ocupa el móvil en un instante sin más que despejar \(R\) de la expresión anterior.

Ejercicio

Calcula el radio de curvatura de la trayectoria en el punto donde se encuentra la pelota de tenis en el instante t=1 s. Utiliza los valores calculados en el ejercicio anterior.

Los vectores velocidad y aceleración normal en t=1 s son, según hemos calculado en el ejercicio anterior:

\[\vec v(t)=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k \Rightarrow\vec v(1)=4\vec i+10\vec j \; [m/s]\] \[\vec a_n(1)=\frac{100}{29}\vec i - \frac{40}{29}\vec j -10\vec k \; [m/s^2]\]

Por tanto sus módulos serán:

\[|\vec v(1)|=10,77 \; m/s\] \[|\vec a_n(1)|= 10,67 \; m/s^2\]

Despejando el radio de curvatura y sustituyendo los valores anteriores:

\[a_n=\frac {v^2}{R} \Rightarrow R=\frac{v^2}{a_n}=10,9 \; m\]

Tipo de movimiento según la aceleración normal

Recordando el significado de la aceleración normal, sabemos que esta mide cómo cambia la dirección de la velocidad. Si cambia la dirección de la velocidad también cambia la dirección del movimiento; por tanto, la aceleración normal provoca que el cuerpo gire.
¿Qué sucede si la aceleración normal es cero? Si \(\vec a_n=\vec 0\) la dirección de la velocidad y, por tanto, la dirección del movimiento, no cambia. Pero la única manera de que un móvil no cambie su dirección es que la trayectoria que describe sea una recta. En consecuencia, si la aceleración normal es cero entonces el movimiento es rectilíneo.
Cuando \(\vec a_n \neq \vec 0\), y por tanto la trayectoria no es una recta, el movimiento se llama curvilíneo. Hay un caso particular de especial importancia: cuando el radio de curvatura es el mismo en todos los puntos de la trayectoria, entonces la trayectoria descrita por el móvil es una circunferencia; a este movimiento se le llama circular.

Para pensar

¿Puedes calcular el radio de curvatura de la trayectoria cuando el movimiento es rectilíneo?

Aceleración total

En cada punto de la trayectoria \(\vec a_t\) tiene la dirección de la velocidad y \(\vec a_n\) tiene dirección perpendicular a la velocidad. La conclusión es inmediata: \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\) son perpendiculares entre sí.

Por otro lado sabemos que, en cada instante, la aceleración \(\vec a\) es la suma de sus componentes intrínsecas tangencial, \(\vec a_t\), y normal, \(\vec a_n\):

\[\vec a=\vec a_t+\vec a_n\]

Por tanto, gráficamente la relación entre el vector aceleración \(\vec a\) y sus componentes intrínsecas \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\) es:

Las componentes intrínsecas de la aceleración son perpendiculares entre sí.

Como consecuencia del hecho de que \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\) sean perpendiculares, los módulos de \(\vec a\), \(\vec a_t\) y \(\vec a_n\) verifican:

\[a^2=a_t^2+a_n^2\]

Otra consecuencia de la perpendicularidad de las componentes intrínsecas es la siguiente: si la aceleración (total) del cuerpo es cero entonces necesariamente tanto \(\vec a_t\) como \(\vec a_n\) son cero:

\[\vec a=\vec 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \vec a_t=\vec 0\\ \vec a_n=\vec 0 \end{matrix}\right.\]

Ideas clave

➯ Los vectores aceleración tangencial \(\vec a_t\) y aceleración normal \(\vec a_n\) son las componentes intrínsecas de la aceleración.
➯ La aceleración se puede expresar como la suma de sus componentes intrínsecas: \(\vec a=\vec a_t+\vec a_n\).
➯ La aceleración tangencial \(\vec a_t\):
- Indica cómo varía la velocidad en módulo.
- Se calcula como \(\vec a_t= \frac {dv}{dt}\vec u_t\).
- Su dirección es tangente a la trayectoria en cada punto.
- Su sentido es el mismo que \(\vec v\) si la velocidad aumenta, y opuesto a \(\vec v\) si la velocidad disminuye.
- Si \(\vec a_t= \vec 0\) el movimiento es uniforme, y si \(\vec a_t \neq \vec 0\) el movimiento es acelerado.
➯ La aceleración normal o centrípeta \(\vec a_n\):
- Indica cómo varía la dirección de la velocidad.
- Se calcula como \(\vec a_n=\vec a - \vec a_t\).
- Su módulo es \(a_n=\frac {v^2}{R}\).
- Su dirección es perpendicular a la velocidad.
- Está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria en cada punto.
- Si \(\vec a_n= \vec 0\) el movimiento es rectilíneo, y si \(\vec a_n \neq \vec 0\) el movimiento es curvilíneo.

Física con Sage

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Programa #1
Este programa calcula la aceleración instantánea en t=1 s y sus componentes intrínsecas en el mismo instante.