Módulo de un vector

Vimos anteriormente que el módulo de un vector viene dado por lo “larga” que es la flecha que lo representa; por eso un desplazamiento de 1000 m lo habíamos representado con un vector el doble de largo que un desplazamiento de 500 m. Es decir, el módulo de un vector es la distancia que hay entre el origen y el extremo del vector.
Para referirnos la módulo de un vector $\vec{v}$ utilizaremos el nombre del vector entre barras, $| \vec{v} |$ , o simplemente pondremos el nombre del vector sin la flecha arriba, $v$ . Un aviso importante: debes tener muy clara la diferencia entre $\vec{v}$ y $v$ . En el primer caso, $\vec{v}$ , estamos hablando del vector con todos sus elementos (módulo, dirección y sentido); en el segundo, $v$ , estamos haciendo referencia únicamente al valor de su módulo, y no damos ninguna información sobre la dirección o el sentido. ¿Ves la diferencia?

Cálculo del módulo de un vector

Sabemos qué es el módulo de un vector; nos falta ver cómo se calcula. Si

(v_{x}, v_{y})

son las coordenadas del vector

\vec{v}

, sin más que recurrir al teorema de Pitágoras podemos deducir que su módulo es:

| \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}

El módulo del vector es la hipotenusa, y las coordenadas $v_{x}$ y $v_{y}$ son los catetos.

Ejemplo

Dado el vector $\vec{v} = (3, - 2)$ , calcula su módulo.

Solución: $| \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{3^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{13}$

Ideas clave

➯ El módulo de un vector es la distancia que hay entre origen y el extremo del vector.
➯ El módulo del vector $\vec{v}$ se representa como $\vec{v}$ o simplemente $v$ .
➯ Si las coordenadas del vector son $\vec{v} = (v_{x}, v_{y})$ , entonces su módulo es: $| \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Halla el módulo de los siguientes vectores:
$\vec{a} = (- 1, - 2)$ .
$\vec{b} = (0, 2)$ .
$\vec{c} = (- 5, 0)$ .

$| \vec{a} | = \sqrt{5}$
$| \vec{b} | = 2$
$| \vec{c} | = 5$

Ejercicio 2

Un vector tiene su origen en el punto $(- 2, 5)$ y su extremo en el punto $(3, - 1)$ . ¿Cuál es su módulo?

Vector:

(5, - 6)

; módulo:

\sqrt{61}

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Este programa calcula el módulo de un vector a partir de sus coordenadas. Modificando las coordenadas del vector puedes obtener el módulo de cualquier vector.

xxxxxxxxxx
 
# --------- DATOS ----------
# Coordenadas del vector (vx,vy)
vx = 3
vy = -2
# ---------------------------
​
print("Vector:", (vx,vy))
print("Módulo:", sqrt(vx^2+vy^2))

Programa #2
El resultado del programa anterior es sqrt(13), es decir, raíz cuadrada de 13. Correcto… pero no muy bonito. Prueba a utilizar la función show() para mostrar el resultado. Es decir, sustituye las dos funciones print() por:

show("Vector:", (vx,vy))
show("Módulo:", sqrt(vx^2+vy^2))

Ejecuta el nuevo programa. Mucho mejor así, ¿no crees?

Programa #3
¿Conoces LaTeX? Con su ayuda la presentación de los resultados aún puede mejorar. En el programa anterior cambia las dos funciones show() por las siguientes, y observa el resultado del programa:

show(LatexExpr("\\vec v="), (vx,vy))
show(LatexExpr("|\\vec v|="), sqrt(vx^2+vy^2))

Programa #4

Escribe un programa que, dadas las coordenadas del origen y el extremo, muestre las coordenadas del vector y calcule su módulo.

xxxxxxxxxx
 
# Escribe aquí tu código

# ---------- DATOS ------------
# Coordenadas del origen (x1,y1)
x1 = 2
y1 = 3
# Coordenadas del extremo (x2,y2)
x2 = 0
y2 = 1
# ------------------------------

# Coordenadas del vector (vx,vy)=(x2-x1, y2-y1)
vx = x2 - x1
vy = y2 - y1

# Módulo del vector
v = sqrt(vx^2+vy^2)

# Salida por pantalla
show("Vector:", (vx,vy))
show("Módulo:", v)