Módulo de un vector

Vimos anteriormente que el módulo de un vector viene dado por lo “larga” que es la flecha que lo representa; por eso un desplazamiento de 1000 m lo habíamos representado con un vector el doble de largo que un desplazamiento de 500 m. Es decir, el módulo de un vector es la distancia que hay entre el origen y el extremo del vector.
Para referirnos la módulo de un vector \(\vec{v}\) utilizaremos el nombre del vector entre barras, \(|\vec{v}|\), o simplemente pondremos el nombre del vector sin la flecha arriba, \(v\). Un aviso importante: debes tener muy clara la diferencia entre \(\vec{v}\) y \(v\). En el primer caso, \(\vec{v}\), estamos hablando del vector con todos sus elementos (módulo, dirección y sentido); en el segundo, \(v\), estamos haciendo referencia únicamente al valor de su módulo, y no damos ninguna información sobre la dirección o el sentido. ¿Ves la diferencia?

Cálculo del módulo de un vector

Sabemos qué es el módulo de un vector; nos falta ver cómo se calcula. Si \((v_x,v_y)\) son las coordenadas del vector \(\vec{v}\), sin más que recurrir al teorema de Pitágoras podemos deducir que su módulo es: \[|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\]

El módulo del vector es la hipotenusa, y las coordenadas \(v_x\) y \(v_y\) son los catetos.

Ejemplo

Dado el vector \(\vec{v}=(3,-2)\), calcula su módulo.

Solución: \[|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\]

Ideas clave

➯ El módulo de un vector es la distancia que hay entre origen y el extremo del vector.
➯ El módulo del vector \(\vec{v}\) se representa como \(\vec{v}\) o simplemente \(v\).
➯ Si las coordenadas del vector son \(\vec{v}=(v_x,v_y)\), entonces su módulo es: \(|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Halla el módulo de los siguientes vectores:
\(\vec{a}=(−1,-2)\).
\(\vec{b}=(0,2)\).
\(\vec{c}=(−5,0)\).

\(|\vec{a}|=\sqrt{5}\)
\(|\vec{b}|=2\)
\(|\vec{c}|=5\)

Ejercicio 2

Un vector tiene su origen en el punto \((−2,5)\) y su extremo en el punto \((3,−1)\). ¿Cuál es su módulo?

Vector: \((5,-6)\); módulo: \(\sqrt{61}\)

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Este programa calcula el módulo de un vector a partir de sus coordenadas. Modificando las coordenadas del vector puedes obtener el módulo de cualquier vector.

Programa #2
El resultado del programa anterior es sqrt(13), es decir, raíz cuadrada de 13. Correcto… pero no muy bonito. Prueba a utilizar la función show() para mostrar el resultado. Es decir, sustituye las dos funciones print() por:

show("Vector:", (vx,vy))
show("Módulo:", sqrt(vx^2+vy^2))

Ejecuta el nuevo programa. Mucho mejor así, ¿no crees?

Programa #3
¿Conoces LaTeX? Con su ayuda la presentación de los resultados aún puede mejorar. En el programa anterior cambia las dos funciones show() por las siguientes, y observa el resultado del programa:

show(LatexExpr("\\vec v="), (vx,vy))
show(LatexExpr("|\\vec v|="), sqrt(vx^2+vy^2))

Programa #4

Escribe un programa que, dadas las coordenadas del origen y el extremo, muestre las coordenadas del vector y calcule su módulo.

# ---------- DATOS ------------
# Coordenadas del origen (x1,y1)
x1 = 2
y1 = 3
# Coordenadas del extremo (x2,y2)
x2 = 0
y2 = 1
# ------------------------------

# Coordenadas del vector (vx,vy)=(x2-x1, y2-y1)
vx = x2 - x1
vy = y2 - y1

# Módulo del vector
v = sqrt(vx^2+vy^2)

# Salida por pantalla
show("Vector:", (vx,vy))
show("Módulo:", v)