Vector libre

Fíjate en los siguientes vectores:

\(\vec{a}\): origen \((0,0)\), extremo \((3,2)\)
\(\vec{b}\): origen \((-1, 2)\), extremo \((2,4)\)
\(\vec{c}\): origen \((-3, -1)\), extremo \((0, 1)\)

Los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Se parecen bastante, ¿no? Todos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. La única diferencia entre ellos es dónde están situados sobre el plano. De hecho, si calculamos las coordenadas de esos vectores vemos que todos tienen las mismas: \((3,2)\). Compruébalo.
Pues bien, matemáticamente todos estos vectores son equivalentes. Al conjunto de todos ellos, y todos los que son “iguales” a ellos (mismo módulo, dirección y sentido), se le llama vector libre. Entonces, cuando hablemos de vector libre nos estaremos refiriendo a un vector que está caracterizado por un módulo, una dirección y un sentido determinados, pero que puede estar situado en cualquier lugar del plano.

Representante de un vector libre

Acabamos de ver que si tenemos un vector libre lo podemos situar en cualquier lugar del plano que nos interese; seguirá siendo el mismo vector independientemente de dónde lo coloquemos (siempre que mantengamos intactos su módulo, dirección y sentido, claro). Normalmente, como representante de un vector libre escogemos aquel vector cuyo origen coincide con el origen de coordenadas. En ese caso:

Las coordenadas del vector coinciden con las coordenadas del extremo, ya que el origen es el punto \((0,0)\).
Es muy sencillo representar el vector en el plano: por ejemplo, para representar el vector \(\vec{v}=(3,2)\) solo tenemos que unir el origen de coordenadas con el punto \((3,2)\).

El vector de origen (0,0) y extremo (3,2) tiene de coordenadas (3,2).

Ideas clave

➯ Los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido son equivalentes.
➯ El conjunto de todos los vectores del plano que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido se llama vector libre.
➯ El vector de coordenadas \((v_x,v_y)\) lo representaremos uniendo el origen de coordenadas con el punto \((v_x,v_y)\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Justifica si estos tres vectores representan el mismo vector libre:
a. Vector \(\vec{a}\) de origen \((0,0)\) y extremo \((3,2)\).
b. Vector \(\vec{b}\) de origen \((1,-1)\) y extremo \((4,1)\).
c. Vector \(\vec{c}\) de origen \((1,2)\) y extremo \((4,3)\).

Las coordenadas de los vectores son \(\vec{a}=(3,2)\), \(\vec{b}=(3,2)\), \(\vec{c}=(3,1)\). Por tanto, \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) representan el mismo vector libre, pero \(\vec{c}\) no.

Ejercicio 2

El punto de aplicación de estos vectores es el origen de coordenadas. ¿En qué cuadrante se encuentra cada uno de ellos?:
\(\vec{a}=(-1,-1)\)
\(\vec{b}=(1,3)\)
\(\vec{c}=(2, -4)\)
\(\vec{d}=(-3,1)\)
Represéntalos para comprobar tu respuesta.

Solo hay que mirar los signos de las coordenadas del vector:
\(\vec{a}=(-1,-1)\): tercer cuadrante.
\(\vec{b}=(1,3)\): primer cuadrante.
\(\vec{c}=(2, -4)\): cuarto cuadrante.
\(\vec{d}=(-3,1)\): segundo cuadrante.

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Es muy sencillo dibujar un vector en Sage: introducimos como datos las coordenadas del origen y el extremo del vector y la función arrow() se encarga de dibujar la flecha que une dichos puntos. En este programa se representan los vectores del ejercicio en diferentes colores para poder distinguirlos. Pulsa el botón “Evaluar” para ver su representación; así es muy fácil concluir si son o no el mismo vector libre.