Desplazamiento

Ahora que sabemos qué es y cómo se calcula el vector de posición de un móvil podemos empezar a analizar distintos aspectos de su movimiento. Empecemos por el más básico: el desplazamiento. Ten mucho cuidado con este concepto, porque su significado físico no siempre coincide con el significado que le damos en nuestra vida diaria.

Vector desplazamiento

Volviendo a nuestra pelota de tenis, en este ejercicio se te indica paso a paso cómo calcular su desplazamiento entre dos instantes.

Ejercicio

Representa el sistema referencia y dibuja la trayectoria que sigue la bola.
En un determinado instante $t_{1}$ la bola está en el punto $P_{1}$ . Dibuja el vector de posición de la bola en dicho instante, ${\vec{r}}_{1}$ (recuerda: tienes que unir el origen de coordenadas con el punto $P_{1}$ ).
En un instante posterior, $t_{2}$ , la bola está en $P_{2}$ . Representa también el vector de posición en este instante, ${\vec{r}}_{2}$ .
Dibuja ahora el vector que va de $P_{1}$ a $P_{2}$ Este vector es el desplazamiento de la bola entre los instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ . Al desplazamiento le llamamos $Δ \vec{r}$
Una vez dibujados ${\vec{r}}_{1}$ y ${\vec{r}}_{2}$ (los vectores de posición en los instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ , respectivamente) y $Δ \vec{r}$ (el desplazamiento), ¿ves la relación que hay entre ellos? Una pista: piensa en la suma de vectores. Teniendo en cuenta esta relación expresa $Δ \vec{r}$ en función de ${\vec{r}}_{1}$ y ${\vec{r}}_{2}$ . Listo. Esa expresión nos permitirá calcular el desplazamiento de la bola entre los instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ .

Resumamos lo visto en el ejercicio. El desplazamiento de una partícula entre dos instantes es el vector que va desde la posición inicial de la partícula hasta la posición final:

Desplazamiento de la bola entre los instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ .

En consecuencia el desplazamiento $Δ \vec{r}$ entre los instantes $t_{1}$ y $t_{2}$ se calcula restando el vector de posición de la partícula en el instante final ( ${\vec{r}}_{2}$ ) menos el vector de posición en el instante inicial ( ${\vec{r}}_{1}$ ): $Δ \vec{r} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1}$

Ejercicio

Halla el desplazamiento de la pelota de tenis entre los instantes t₁=1 s y t₂=2 s, sabiendo que las ecuaciones paramétricas de su movimiento son $x (t) = 2 t^{2}$ , $y (t) = 10 t$ , $z (t) = 10 + 10 t - 5 t^{2}$ .

Primero necesitamos el vector de posición de la bola. Dadas sus ecuaciones paramétricas, sabemos que el vector de posición es: $\vec{r} (t) = 2 t^{2} \vec{i} + 10 t \vec{j} + (10 + 10 t - 5 t^{2}) \vec{k} [m]$ Como nos piden el desplazamiento entre t₁=1 s y t₂=2 s, calculamos los vectores de posición respectivos: $\begin{matrix} {\vec{r}}_{1} = \vec{r} (t = 1 s) = 2 \vec{i} + 10 \vec{j} + 15 \vec{k} [m] \\ {\vec{r}}_{2} = \vec{r} (t = 2 s) = 8 \vec{i} + 20 \vec{j} + 10 \vec{k} [m] \end{matrix}$

En consecuencia el desplazamiento es:

Δ \vec{r} = {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} = 8 \vec{i} + 20 \vec{j} + 10 \vec{k} - (2 \vec{i} + 10 \vec{j} + 15 \vec{k}) = 6 \vec{i} + 10 \vec{j} - 5 \vec{k} [m]

Desplazamiento y espacio recorrido

Algo importante que debes tener en cuenta es que el desplazamiento y el espacio recorrido por un móvil no son lo mismo. Mira el dibujo:

Espacio recorrido y desplazamiento cuando el móvil se traslada de la posición P₁ a la posición P₂.

Como puedes ver, el espacio recorrido por la partícula cuando se desplaza entre las posiciones P₁ y P₂, $s$ , es la distancia que recorre medida sobre la trayectoria, mientras que su desplazamiento $Δ \vec{r}$ se mide en línea recta desde la posición inicial hasta la posición final.

Ejercicio

¿Qué tienen en común el espacio recorrido y el desplazamiento? ¿En qué se diferencian? Analiza las similitudes y diferencias entre estas dos magnitudes.

Similitudes:
Ambas se miden en metros en el SI.

Diferencias:

Espacio	Aspecto considerado	Desplazamiento
El espacio es una magnitud escalar.	Tipo de magnitud	El desplazamiento es una magnitud vectorial.
Para medir el espacio recorrido necesitamos conocer la trayectoria que ha seguido el cuerpo al moverse.	Trayectoria	El desplazamiento es independiente de la trayectoria, solo importan la posición inicial y la final.
Si el cuerpo se ha movido el espacio recorrido siempre es mayor que cero.	¿Puede valer cero?	El desplazamiento puede ser cero; basta con que el móvil regrese a la posición inicial.
Según el cuerpo se mueve, el espacio recorrido siempre aumenta.	¿Cómo cambia?	Según el cuerpo se mueve, el módulo del desplazamiento puede aumentar o disminuir.

Para pensar

Pon ejemplos en los que se pongan de manifiesto cada una de las diferencias entre el espacio y el desplazamiento mencionadas.

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Dadas las ecuaciones paramétricas del movimiento y dos instantes t₁ y t₂, este programa calcula el vector desplazamiento entre ambos instantes.

xxxxxxxxxx
 
var('t')
​
#---------- DATOS ------------
# Ecuaciones paramétricas del movimiento (m)
x(t) = 2*t^2
y(t) = 10*t
z(t) = 10 + 10*t - 5*t^2
​
# Instantes t1 y t2 considerados (s)
t1 = 1
t2 = 2
#------------------------------
​
# Vector de posición en función del tiempo
r = vector([x(t), y(t), z(t)])
​
# Vectores de posición en t1 y t2
r1 = r(t=t1)
r2 = r(t=t2)
         
# Desplazamiento entre t1 y t2
delta_r = r2 - r1
​
# Salida por pantalla
print("Desplazamiento entre en t1 =", t1, "s y t2 =", t2, "s:")
print("r2-r1 =", delta_r, "m")

Programa #2
Este programa muestra de manera gráfica los vectores de posición ${\vec{r}}_{1}$ y ${\vec{r}}_{2}$ en los instantes t₁ y t₂, respectivamente (en azul), y el vector desplazamiento entre dichos instantes (en rojo). Modifica los valores de t₁ y t₂ para ver cómo cambia el vector desplazamiento.

xxxxxxxxxx
 
var('t')
​
#---------- DATOS ------------
# Ecuaciones paramétricas del movimiento (m)
x(t) = 2*t^2
y(t) = 10*t
z(t) = 10 + 10*t - 5*t^2
​
# Instantes t1 y t2 considerados (s)
t1 = 1
t2 = 2
​
# Instantes tmin y tmax para la representación de la trayectoria (s)
tmin = 0
tmax = 3
#------------------------------
​
# Vectores de posición en t1 y t2
r1 = arrow3d((0, 0, 0), (x(t1), y(t1), z(t1)), width=4)
r2 = arrow3d((0, 0, 0), (x(t2), y(t2), z(t2)), width=4)
​
# Desplazamiento entre t1 y t2
delta_r = arrow3d((x(t1), y(t1), z(t1)), (x(t2), y(t2), z(t2)), width=6, color='#8c271e')
​
# Gráfica de la trayectoria entre los instantes tmin y tmax
trayectoria = parametric_plot((x(t), y(t), z(t)), (t, tmin, tmax))
​
# Salida por pantalla
show(trayectoria + r1 + r2 + delta_r, axes=True, decimals=0, projection='orthographic')