Ecuaciones paramétricas del movimiento

Ecuaciones paramétricas del movimiento

Antes de lanzarnos a estudiar el movimiento de la bola necesitamos dos cosas: un sistema de referencia para localizar las distintas posiciones de la bola y establecer las direcciones de las magnitudes cinemáticas, y un cronómetro para llevar cuenta del tiempo.

El sistema de referencia elegido será, como ya hemos dicho, los ejes cartesianos, con su origen O y sus tres direcciones X, Y y Z mutuamente perpendiculares. También dijimos que el sistema de referencia lo podemos colocar como prefiramos; en este caso hemos decidido ponerlo como se ve en el dibujo, con el plano XY en el suelo, el eje Z vertical y el punto de lanzamiento de la bola sobre el eje Z:

Sistema de referencia elegido para estudiar el movimiento de la pelota de tenis lanzada desde la torre de Pisa.

Como la bola empieza a moverse en el momento en que la lanzamos, justo en ese instante ponemos en marcha el cronómetro. Es decir, en el momento en que empieza el movimiento el cronómetro marca un tiempo t=0 s. A este tiempo le llamamos instante inicial (podíamos haber escogido otro instante inicial para estudiar el movimiento, pero esta elección es muy razonable). En consecuencia, cuando hablemos de un instante determinado nos estaremos refiriendo al tiempo señalado por el cronómetro en ese momento.

Posición en función del tiempo

Ahora sí estamos en condiciones de empezar a estudiar el movimiento de la bola. Según recorre su camino, es decir, según va ocupando distintas posiciones, el cronómetro mide el avance del tiempo. La posición en un instante determinado viene dada por las coordenadas \((x,y,z)\) del punto \(P\) del espacio en que se encuentra la bola en ese instante (recuerda que vamos a tratar la bola como una masa puntual).

Posición de la bola en un instante determinado.

Pero como la bola se mueve su posición \((x,y,z)\) cambia dependiendo del instante considerado. Dicho de otra manera, las coordenadas \(x\), \(y\), \(z\) son función del tiempo, \(t\). Matemáticamente esa dependencia se expresa de la siguiente manera:

\[ \left.\begin{array}{l} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t) \end{array}\right\} \]

Ecuaciones paramétricas

Ahora imagina que, de alguna manera, somos capaces de conocer la posición de la bola en cualquier instante de tiempo. Eso implica que sabemos cómo es la dependencia de las variables \(x\), \(y\) y \(z\) con el tiempo. Pues bien, resulta que en el caso de nuestra bola esa dependencia es, en unidades del SI, como sigue ²:

\[ \left.\begin{array}{l} x(t) = 2t^2\\ y(t) = 10t\\ z(t) = 10 + 10t - 5t^2 \end{array}\right\} \]

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas del movimiento. Gracias a ellas podemos conocer la posición \((x(t),y(t),z(t))\) de la bola en cualquier instante. Pero no solo eso, sino que lo podemos saber absolutamente todo sobre el movimiento de nuestra bola: cómo es su trayectoria, con qué velocidad se mueve, a qué distancia de la torre caerá, etc. Todo. Podemos calcular cualquier magnitud cinemática a partir de las ecuaciones paramétricas del movimiento. En los siguientes apartados veremos cómo.

Ejercicio

¿Cuál es la posición de la pelota de tenis en el instante inicial?

Mientras no se indique lo contrario, consideraremos que el instante inicial es t=0 s. Para calcular la posición de la partícula en un instante solo hay que sustituir el valor del tiempo en las ecuaciones paramétricas del movimiento:

Coordenada \(x\): \(x(t) = 2t^2 \Rightarrow x(0)=0 \; m\)
Coordenada \(y\): \(y(t) = 10t \Rightarrow y(0)=0 \; m\)
Coordenada \(z\): \(z(t) = 10 + 10t - 5t^2 \Rightarrow z(0)=10 \; m\)

Es decir, en el momento del lanzamiento la pelota está en la posición \((0,0,10)\), con las coordenadas en metros. Este punto está situado sobre el eje Z (ya que tanto la coordenada \(x\) como la \(y\) valen cero) a una altura de diez metros sobre el plano XY (que habíamos situado en el suelo).

Modelo tridimensional

En este modelo en tres dimensiones realizado con SageMath se han utilizado las ecuaciones paramétricas para dibujar las posiciones sucesivas que ocupa la pelota de tenis en diferentes instantes. En concreto se han representado los puntos en que se encuentra cada 0,2 segundos, entre t=0 s y t=3 s. El eje X está marcado en rojo, el eje Y en verde y el eje Z en azul. ¿Encuentras la posición en la que estaba el móvil en el instante inicial? Gira el modelo para ver las posiciones desde distintos puntos de vista. Como puedes observar, gracias a las ecuaciones paramétricas podemos empezar a hacernos una idea muy clara de cómo es el movimiento de la bola.

Posiciones de la bola cada 0,2 s (eje X: rojo; eje Y: verde; eje Z: azul). Pincha sobre la imagen y arrastra el cursor para girarla.

Para pensar

Para contestar estas preguntas utiliza la representación tridimensional anterior.

Según vimos en el ejemplo, en el instante inicial la bola estaba a 10 m sobre el plano XY. Hay otro punto en el que la bola se encuentra a la misma altura. ¿Puedes decir a qué instante se corresponde ese punto?
Haz una estimación del tiempo que le lleva a la bola llegar al suelo.
Fíjate en los puntos número 14 y 15 del modelo. Estos puntos no tienen mucho sentido. ¿Puedes explicar por qué?

Ejercicio

Teniendo en cuenta que las ecuaciones paramétricas de pelota de tenis son \(x(t)=2t^2\), \(y(t)=10t\), \(z(t)=10 + 10t - 5t^2\), contesta las siguientes preguntas y después comprueba el resultado en el modelo tridimensional:

¿Cuál es la posición de la bola dos segundos después del lanzamiento?

\[ \left.\begin{array}{l} x=x(2)=8 \; m\\ y=y(2)=20 \; m\\ z=z(2)=10 \; m \end{array}\right\} \] En t=2 s la posición es (8,20,10), en metros. Es el punto número 10 del modelo (como estos puntos los hemos dibujado cada 0,2 s, el punto 10 se corresponde con el instante t=2 s).

La pelota de tenis empieza su movimiento subiendo y después baja. ¿En qué instante vuelve a estar a la misma altura que en el lanzamiento?

Tal y como hemos situado el sistema de referencia, la altura de la bola viene dada por el valor de la coordenada z. Hemos calculado anteriormente que en el momento del lanzamiento z=10 m. Por tanto: \[ \left.\begin{array}{l} z=10 + 10t - 5t^2 \\ z=10 \end{array}\right\} \Rightarrow \; t=0 \; s, \; t=2 \; s \] La bola está a 10 m de altura en t=0 s (el instante inicial) y en t=2 s (a los dos segundos del lanzamiento). Este último instante se corresponde con el punto número 10 del modelo tridimensional.

¿Cuánto le lleva llegar al suelo?

La bola llega al suelo cuando la coordenada z es cero: \[ \left.\begin{array}{l} z=10 + 10t - 5t^2 \\ z=0 \end{array}\right\} \Rightarrow \; t=-0,7 \; s, \; t=2,7 \; s \] La solución negativa no es válida (se refiere a un instante anterior a que el cuerpo empezase a moverse, lo cual no tiene sentido). Por tanto la bola llega al suelo 2,7 segundos después de haberla lanzado. En el modelo tridimensional es un punto situado entre el número 13 (que se corresponde con el instante t=2,6 s) y el 14 (instante t=2,8 s).

Ideas clave

➯ El instante inicial, \(t_0\), es el el momento en que se empieza a estudiar el movimiento. Normalmente \(t_0=0 \; s\).
➯ La posición de una partícula en un instante es el punto del espacio en el que se encuentra la partícula en dicho instante.
➯ Las ecuaciones paramétricas del movimiento, \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(z=z(t)\), nos dan la posición \((x(t),y(t),z(t))\) que ocupa la partícula en el espacio en un instante \(t\).

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Este programa calcula la posición de la bola en el instante t_i. Modificar el valor de t_i para hallar la posición en cualquier otro instante. Cambiando las ecuaciones paramétricas también puedes resolver otros problemas análogos.

Cuando estudiemos dinámica, que es la rama de la Física que estudia cómo las fuerzas afectan al movimiento, podremos deducir estas ecuaciones.↩