Velocidad

A las 10 de la mañana del 4 de abril de 1838 el buque Sirius partió del puerto de Cork (Irlanda) rumbo a Nueva York con cuarenta pasajeros a bordo. Dieciocho días después llegó a su destino. Este viaje pasó a la historia por ser el Sirius el primer barco que cruzó el Atlántico utilizando una máquina de vapor para propulsarse.

SS Sirius, c. 1838 (Wikimedia Commons)

Hoy en día un avión de pasajeros cubre la ruta entre dichas ciudades en poco más de seis horas. La diferencia entre ambos viajes (¿te imaginas tener que emplear casi tres semanas en llegar a tu destino?) ilustra la importancia de la magnitud que vamos a tratar en este apartado: la velocidad.

La velocidad, como ya sabes de cursos anteriores, nos da una idea de lo rápido que cambia la posición de un cuerpo. En este apartado vamos a estudiar tres velocidades distintas; de ellas, la que llamaremos celeridad o rapidez ya la conoces de cursos pasados y tan solo la recordaremos, y la velocidad media la emplearemos casi exclusivamente para introducir la que realmente nos interesa: la velocidad instantánea.

Celeridad o rapidez

Para empezar, ¿podrías calcular la velocidad a la que vuela un avión de pasajeros de Cork a Nueva York?

Ejercicio

Calcula la velocidad del vuelo Cork-Nueva York. Los datos que necesitas puedes obtenerlos en la página web “Calculador de distancias” (o en otra fuente que prefieras).

En cursos anteriores, para calcular la velocidad dividías el espacio recorrido entre el tiempo empleado. Por tanto se necesitan esos dos datos: distancia de vuelo entre Cork y Nueva York y tiempo de vuelo. Según el calculador de distancias, la distancia del vuelo entre los aeropuertos de Cork (ORK) y Nueva York (JFK) es de 4996,21 km, que corresponde a un tiempo de vuelo aproximado de 6 h 22 min (si has decidido aterrizar en otro aeropuerto los números serán un poco diferentes).
Calcularemos la velocidad en km/h ya que, aunque no es unidad del SI, nos resulta muy familiar. El espacio recorrido por el avión, s= 4996,21 km, está en las unidades adecuadas; expresemos el tiempo en horas:

\[ \begin{array}{c} 22 \; min \cdot \displaystyle \frac{1 \; h}{60 \; min} = 0,37 \; h\\ t = 6 \; h \; 22 \; min = 6\; h + 0,37\; h = 6,37 \; h \end{array} \]

Por tanto la velocidad del avión es: \[ v = \frac st = \frac {4996,21 \; km}{6,37 \; h} = 784,33 \; km/h \]

Bastante rápido, ¿no? (en este momento deberías preguntarte si el resultado es razonable, y para comprobarlo deberías buscar algún dato que te permita aceptarlo como válido; es una muy buena costumbre analizar críticamente los resultados de los problemas).

Acabamos de obtener la velocidad del vuelo Cork–Nueva York: 784,33 km/h. Pues bien, esta velocidad es la que llamaremos celeridad o rapidez para distinguirla de las que calcularemos más adelante (el nombre “celeridad” solo lo utilizaremos en clase de Física; en la vida real todo el mundo le llama velocidad). En el sistema internacional se mide en m/s.

En resumen, la celeridad o rapidez con que se mueve un cuerpo se obtiene dividiendo el espacio recorrido (medido sobre la trayectoria) entre el tiempo empleado en recorrerlo. Así de simple. Esta es la definición que has usado hasta ahora para calcular velocidades.

Sin embargo debemos hacer una puntualización: como ya sabes, la celeridad así obtenida es una media. En ciertos momentos el avión va más rápido y en otros va más despacio pero, en media, esa es la rapidez con la que se ha movido.

Velocidad media

Vamos a introducir ahora otra velocidad: la velocidad media. Para ello volvamos al ejemplo del principio del tema —la pelota de tenis lanzada desde la torre de Pisa— y recordemos lo que sabemos hasta ahora. En un instante \(t_1\) la pelota está en el punto \(P_1\) determinado por el vector de posición \(\vec r_1\); en un instante posterior \(t_2\) está en \(P_2\), cuyo vector de posición es \(\vec r_2\). Vimos también que para calcular el desplazamiento de la bola entre esos instantes teníamos que restar \(\vec r_2\) menos \(\vec r_1\):

\[\Delta \vec r=\vec r_2 - \vec r_1\]

Como ahora estamos hablando de velocidad, además de cuánto se ha movido la bola nos interesa conocer el tiempo que ha estado moviéndose. Este tiempo es muy fácil de obtener: si \(t_1\) es el instante inicial considerado y \(t_2\) es el instante final, entonces el tiempo que ha pasado entre \(t_1\) y \(t_2\) es \(t_2-t_1\). A este tiempo le llamamos \(\Delta t\):

\[\Delta t=t_2-t_1\]

Pues bien, la velocidad media entre los instantes \(t_1\) y \(t_2\) se obtiene dividiendo el desplazamiento del móvil entre esos instantes entre el tiempo que le ha llevado dicho desplazamiento. Es decir:

\[\vec v_m=\frac {\Delta \vec r}{\Delta t}\]

Como \(\Delta \vec r=\vec r_2 - \vec r_1\) y \(\Delta t=t_2-t_1\) la velocidad media también la podemos escribir como:

\[\vec v_m=\frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r_2 - \vec r_1}{t_2-t_1}\]

Como consecuencia de la definición, sus unidades en el SI son unidades de desplazamiento (m) entre unidades de tiempo (s). Es decir, la velocidad media se mide en m/s, igual que la celeridad. Sin embargo, hay una diferencia fundamental entre la celeridad media y la velocidad media que no debes olvidar: la celeridad es un escalar mientras que la velocidad es una magnitud vectorial.

Ejercicio

Calcula la velocidad media de la pelota de tenis entre los instantes \(t_1=1\; s\) y \(t_2=2\; s\). Las ecuaciones paramétricas del movimiento, en unidades del SI, son \(x(t)=2t^2\), \(y(t)=10t\), \(z(t)=10 + 10t - 5t^2\).

El vector de posición en función del tiempo, \(\vec r(t)\), es:

\[\vec r(t)=2t^2\vec i + 10t\vec j + (10 + 10t - 5t^2)\vec k \; [m]\]

Entonces, la velocidad media entre \(t_1\) y \(t_2\) es:

\[\vec v_m=\frac {\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r(t=2s) - \vec r(t=1s)}{2-1}\] \[\vec v_m=\frac{(8\vec i+20\vec j+10\vec k)-(2\vec i+10\vec j+15\vec k)}{1}= 6\vec i+10\vec j-15\vec k \; [m/s]\]

Llegados a este punto debemos decir que el concepto de velocidad media no es por sí mismo especialmente útil. Según su definición, esta velocidad es proporcional al desplazamiento, por tanto depende únicamente de las posiciones iniciales y finales y no de la trayectoria seguida por el móvil. Volvamos por un momento al vuelo Cork–Nueva York. Imagina que, al llegar a Nueva York, el avión hace el trayecto de vuelta a Cork. Si consideramos ahora el vuelo de ida y vuelta Cork–Nueva York–Cork, ¿cuál es la velocidad media del avión en dicho trayecto? La respuesta parece un sinsentido: la velocidad media de este viaje ha sido cero, ya que el punto de salida y el de llegada coinciden y, por tanto, el desplazamiento es cero (no sucede lo mismo con la celeridad). Por este motivo en numerosas ocasiones esta magnitud no nos da mucha información útil.

Para pensar

Hemos afirmado que la velocidad media es una magnitud vectorial. ¿Cómo lo puedes demostrar?

Velocidad instantánea

Hemos calculado la velocidad media de la pelota de tenis cuando se ha desplazado entre dos posiciones. Pero queremos saber más sobre el movimiento de la bola. Por ejemplo, ¿qué velocidad llevaba justo en el momento que pasó por la primera posición? ¿O en otro instante cualquiera? Es decir, en lugar de obtener la velocidad media entre dos instantes queremos conocer la velocidad que lleva la bola en un momento concreto de su vuelo. Esta velocidad es la que llamamos velocidad instantánea, y de ella obtenemos muchísima más información sobre el movimiento que de la velocidad media. Veamos cómo calcularla.

En el instante \(t\) la bola se encuentra en el punto \(P\); su vector de posición es \(\vec r(t)\). Un tiempo \(\Delta t\) después, es decir, en el instante \(t+\Delta t\), el vector de posición de la bola es \(\vec r(t+\Delta t)\). Por tanto, en el tiempo \(\Delta t\) la bola se ha sometido a un desplazamiento \(\Delta \vec r=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)\) (recuerda que el desplazamiento se calcula restando el vector de posición final menos el inicial).

Desplazamiento entre los instantes \(t\) y \(t+\Delta t\).

Imagina ahora que, en lugar de considerar el tiempo \(\Delta t\), en el que la bola llegó hasta el punto 1 del siguiente dibujo, consideramos un \(\Delta t\) más pequeño, de manera que a la bola llegó al punto 2. Como ahora el tiempo es más pequeño, el desplazamiento también lo es. Tomemos otro \(\Delta t\) aún más pequeño, con lo que a la bola solo le ha dado tiempo a llegar al punto 3. En el dibujo puedes ver los desplazamientos correspondientes:

Cuanto menor sea el intervalo \(\Delta t\) menos se habrá desplazado la partícula.

En cualquiera de estas situaciones podemos calcular la velocidad media de la bola sin más que dividir el desplazamiento \(\Delta \vec r\) entre el \(\Delta t\) correspondiente. ¿Pero te das cuenta de lo que sucede según tomamos un tiempo \(\Delta t\) cada vez más pequeño? Si consideramos un \(\Delta t\) muy muy muy pequeño (lo que se traduce en decir que \(\Delta t \rightarrow 0\)), el desplazamiento de la bola será también muy pequeño. Pues bien, si calculamos la velocidad media entre el instante \(t\) —cuando la bola está en \(P\)— y el instante \(t+\Delta t\), dado que \(\Delta t \rightarrow 0\) la bola se habrá desplazado muy poco con respecto a \(P\); en consecuencia esta velocidad media la podemos considerar como la velocidad instantánea que tiene la bola al pasar por \(P\).

Matemáticamente esto se expresa diciendo que la velocidad instantánea \(\vec v(t)\) es el límite de la velocidad media cuando \(\Delta t\) tiende a cero. Es decir:

\[ \vec v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \vec v_m=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\]

De ahora en adelante, siempre que no se indique otra cosa, cuando hablemos de velocidad nos estaremos refiriendo a la velocidad instantánea.

Cálculo de la velocidad

Hemos definido la velocidad instantánea como el valor al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado es infinitesimal. Como \(\Delta \vec r=\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)\) dicho límite lo podemos expresar como:

\[ \vec v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}\]

¿Te suena? Compáralo con la derivada de una función:

\[ f'(x)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

Es lo mismo, ¿verdad? En este caso la función que estamos derivando es el vector de posición \(\vec r(t)\) (en lugar de \(f(x)\)), y la variable es \(t\) (en lugar de \(x\)). Así que podemos sacar esta importante conclusión: la velocidad instantánea se calcula derivando el vector de posición con respecto al tiempo:

\[ \vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}\]

En esta expresión de la derivada estamos usando una notación que probablemente no conoces y que, al principio, resulta un tanto confusa. \(\frac{d\vec r(t)}{dt}\) se lee “derivada de \(\vec r(t)\) con respecto a \(t\)”. No es un cociente; simplemente estamos dejando constancia de que la función \(\vec r(t)\) hay que derivarla con respecto a la variable \(t\). Es como si, en matemáticas, escribiésemos \(\frac {df(x)}{dx}\) (“derivada de \(f(x)\) con respecto a \(x\)”) en lugar de \(f'(x)\). Nada más.

A efectos prácticos, la manera de calcular la velocidad es siempre la misma. El vector de posición que debemos derivar es:

\[\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k\]

Se trata, por tanto, de derivar una suma. Como la variable con respecto a la que vamos a derivar es el tiempo, cada sumando es el producto de una función (las coordenadas \(x\), \(y\) y \(z\) dependen del tiempo) por una constante (los vectores unitarios \(\vec i\), \(\vec j\) y \(\vec k\) son constantes). Y todos sabemos que la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función. Por tanto:

\[\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec i + \frac{dy}{dt}\vec j + \frac{dz}{dt}\vec k\]

Esta es la manera de calcular el vector velocidad: derivando cada una de las componentes del vector de posición con respecto al tiempo. Además, si llamamos \(v_x=\frac{dx}{dt}\), \(v_y=\frac{dy}{dt}\) y \(v_z=\frac{dz}{dt}\), podemos expresar la velocidad como:

\[ \vec v=v_x \vec i+v_y\vec j+v_z\vec k\]

\(v_x\), \(v_y\) y \(v_z\) son las componentes de la velocidad en los ejes X, Y y Z, respectivamente (también llamadas componentes cartesianas de la velocidad).

Ejercicio

El vector de posición de la pelota de tenis en función del tiempo es \(\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t –5t^2)\vec k\) metros. Halla la velocidad de la pelota en el instante t=1 s.

Para saber cuál es la velocidad en un instante determinado primero debemos hallar la velocidad en función del tiempo. Según la definición, \(\vec v=\frac{d\vec r}{dt}\), por tanto debemos derivar el vector de posición \(\vec r(t)= 2t^2\vec i + 10t\vec j + (10+10t –5t^2)\vec k\):

\[\vec v(t)=\frac{d\vec r(t)}{dt}=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k \; [m/s]\]

Esta es la velocidad en función del tiempo. Para hallar la velocidad en t=1 s simplemente sustituimos \(t\) por 1 s:

\[\vec v(1)=4\vec i+10\vec j \; [m/s]\]

Características de la velocidad

Dado que la velocidad instantánea es una magnitud vectorial, vamos a analizar cómo son su módulo, dirección y sentido:

Módulo: si el vector velocidad es \(\vec v=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k\) (\(v_x\), \(v_y\) y \(v_z\) son las componentes cartesianas de la velocidad), su módulo es: \[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\] Este módulo nos indica lo rápido que se está moviendo el cuerpo en un determinado instante. Recuerda que, por ser un módulo, siempre es un valor positivo.
Dirección: como consecuencia de la definición, la velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto. No lo olvides; esta importante conclusión la utilizaremos en numerosas ocasiones a lo largo del curso.
Sentido: también como consecuencia de la definición, el vector velocidad está orientado en cada instante en el sentido del movimiento de la partícula.

Es decir, si, por ejemplo, la velocidad de un barco tiene dirección oeste, el barco se moverá hacia el oeste (mientras la velocidad no cambie, claro) ya que, según acabamos de ver, el vector velocidad nos indica hacia dónde se mueve el cuerpo en cada instante.

Ejercicio

Representa el vector velocidad en varios puntos del recorrido de la pelota de tenis lanzada desde la torre de Pisa.

Vector velocidad en distintos puntos.

Al lanzar la pelota su velocidad va disminuyendo según asciende, por eso el módulo de la velocidad se hace cada vez menor; al descender su velocidad va aumentando y, por tanto, el módulo de \(\vec v\) es cada vez mayor. En cada punto del recorrido el vector velocidad es tangente a la trayectoria y tiene el sentido del movimiento.

Vector unitario en la dirección de la velocidad

Cuando estudiamos los vectores introdujimos el concepto de vector unitario,¿recuerdas? Dijimos entonces que cualquier vector se puede expresar como producto de su módulo por un vector unitario en su misma dirección y sentido. Aplicando esta propiedad al vector velocidad \(\vec v\) obtenemos:

\[ \vec v=|\vec v|·\vec u_t\]

donde \(|\vec v|\) es el módulo de la velocidad y \(\vec u_t\) es el vector unitario en la dirección y sentido del vector velocidad. Como sabemos, el vector velocidad es tangente a la trayectoria en cada punto; en consecuencia el vector \(\vec u_t\) también lo será (ya que \(|\vec v|\) es un escalar). Es decir, el vector \(\vec u_t\) es un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto (de ahí el subíndice \(t\)).

Despejando \(\vec u_t\) de la igualdad anterior resulta:

\[ \vec u_t= \frac {\vec v}{|\vec v|}\]

Este vector lo utilizaremos más adelante, así que no olvides cómo se calcula.

Ejercicio 1

Para el movimiento de la pelota de tenis, cuya velocidad viene dada por \(\vec v(t)=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k\) m/s, halla el vector unitario en la dirección de la velocidad en función del tiempo.

Como el vector velocidad es \(\vec v(t)=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k\), su módulo \(v\) será: \[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}=\sqrt{(4t)^2+10^2+(10-10t)^2}=\sqrt{116t^2-200t+200} \; [m/s] \]

Por tanto, el vector unitario \(\vec u_t\) es:

\[\vec u(t)=\frac {\vec v}{v}=\frac {4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k}{\sqrt{116t^2-200t+200}}\] \[\vec u(t)=\frac {4t}{\sqrt{116t^2-200t+200}}\vec i+\frac {10}{\sqrt{116t^2-200t+200}}\vec j+\frac {10-10t}{\sqrt{116t^2-200t+200}}\vec k\]

Ejercicio 2

Sabiendo que la velocidad de la pelota de tenis es \(\vec v(t)=4t\vec i+10\vec j+(10-10t)\vec k\) m/s, ¿cuál es el vector unitario tangente a la trayectoria en el instante t=1 s?

\[ \begin{array}{c} \vec v(1)=4\vec i+10\vec j \; [m/s]\\ v(1)=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29} \; [m/s] \\ \end{array} \]

\[\vec u(1)=\frac{\vec v(1)}{v(1)}=\frac{4\vec i+10\vec j}{2\sqrt{29}}=\frac{2\sqrt{29}}{29}\vec i+\frac{5\sqrt{29}}{29}\vec j\] Obviamente habríamos obtenido el mismo resultado sustituyendo t=1 s en el vector unitario en función del tiempo que calculamos en el ejercicio anterior.

Ideas clave

➯ La celeridad o rapidez se calcula dividiendo el espacio recorrido sobre la trayectoria entre el tiempo empleado en recorrerlo.
➯ La velocidad media entre los instantes \(t_1\) y \(t_2\) se calcula dividiendo el desplazamiento realizado entre el tiempo empleado en dicho desplazamiento: \(\vec v_m=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{t_2-t_1}\)
➯ La velocidad instantánea \(\vec v(t)\) es el límite de la velocidad media cuando \(\Delta t\) tiende a cero: \(\vec v(t)=\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \vec v_m=\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec r}{\Delta t}\)
➯ La velocidad instantánea se calcula derivando el vector de posición con respecto al tiempo: \(\vec v=\frac{d\vec r}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec i + \frac{dy}{dt}\vec j + \frac{dz}{dt}\vec k=v_x\vec i+v_y\vec j+v_z\vec k\)
➯ El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto y está orientado en el sentido del movimiento de la partícula.
➯ El vector unitario en la dirección de la velocidad, \(\vec u_t\), se calcula dividiendo el vector velocidad entre su módulo: \(\vec u_t=\frac {\vec v}{v}\).

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1

Este programa calcula, dadas las ecuaciones paramétricas del movimiento, la velocidad media de una partícula entre los instantes t₁ y t₂. Modificando los datos lo puedes utilizar para calcular la velocidad media en cualquier ejercicio.
Este programa nos da también la oportunidad de ver un contratiempo que puede surgir cuando usamos un lenguaje de programación para resolver problemas. Por ejemplo, ¿qué sucede si t₁ y t₂ coinciden? Un humano con unos mínimos conocimientos de cinemática desecharía inmediatamente este problema, ya que entre un instante y ese mismo instante no tiene sentido hablar de movimiento, y menos de velocidad. Pero una máquina no es capaz de sacar esa conclusión por sí misma, a no ser que nosotros le enseñemos. Prueba a poner t₁=2 y t₂=2 en los datos. ¿Qué sucede cuando ejecutas el programa? Lo esperado: aparece un mensaje de error. Normalmente lo importante del mensaje es la última línea. En este caso la “queja” es ZeroDivisionError: rational division by zero. Es decir, nos está diciendo: “Oye, me pides que divida entre cero y eso no se puede hacer”.
Lejos de ser una pega, esto nos hace ser más conscientes de las posibles situaciones atípicas que se pueden dar al resolver un problema y por tanto nos ayuda tener una visión más amplia y a aprender más sobre la situación que estamos manejando. Además, la manera de arreglarlo es muy sencilla: solo hay que añadir una comprobación para que el programa nos dé un aviso cuando suceda algo anómalo. Pero esto es una cuestión que va más allá de los conocimientos básicos que tenemos por ahora. Para los que quieran intentarlo, en SageMath hay numerosos tutoriales para ir un paso más allá.

Programa #2
Este programa calcula la velocidad en un determinado instante a partir de las ecuaciones paramétricas del movimiento.

Programa #3
Con este programa puedes obtener el vector \(\vec u_t\) en un instante determinado.