Componentes de un vector

Como acabamos de ver, una manera muy habitual de expresar un vector $\vec{v}$ es especificando por separado qué parte del vector corresponde al eje $X$ ( $v_{x}$ ) y cuál al eje $Y$ ( $v_{y}$ ):

$\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j}$

Teniendo esto en cuenta, muchas veces en Física escribiremos los vectores de la siguiente manera:

$\vec{v} = {\vec{v}}_{x} + {\vec{v}}_{y}$

donde:

${\vec{v}}_{x} = v_{x} \cdot \vec{i}$ ${\vec{v}}_{y} = v_{y} \cdot \vec{j}$

Es decir, el vector $\vec{v}$ es la suma de los vectores ${\vec{v}}_{x}$ y ${\vec{v}}_{y}$ , que tienen la dirección del eje $X$ y del eje $Y$ , respectivamente (por tanto, son perpendiculares entre sí). A estos vectores ${\vec{v}}_{x}$ y ${\vec{v}}_{y}$ les llamamos componentes del vector $\vec{v}$ .

Lo que estamos haciendo al escribir

\vec{v} = {\vec{v}}_{x} + {\vec{v}}_{y}

es descomponer el vector en la suma de otros vectores que están situados sobre los ejes cartesianos. Por ese motivo a estas componentes también se les llama componentes cartesianas del vector.

Componentes de un vector

Las componentes del vector $\vec{v}$ son ${\vec{v}}_{x}$ y ${\vec{v}}_{y}$ .

No confundas ${\vec{v}}_{x}$ , que es la componente del vector $\vec{v}$ en la dirección del eje $X$ (y es, por tanto un vector), con $v_{x}$ , que es el módulo de dicha componente (es decir, es un escalar). Lo mismo sucede con ${\vec{v}}_{y}$ , la componente del vector en la dirección del eje $Y$ , y $v_{y}$ , su módulo.

Ejemplo
Si $\vec{v}$ es un vector de módulo $v$ y argumento $θ$ , ¿cuáles son sus componentes cartesianas?

Solución:
Como vimos anteriormente (Cálculo de las coordenadas de un vector dados su módulo y su argumento), $v_{x}$ y $v_{y}$ son, respectivamente:

$v_{x} = v \cdot \cos θ$ $v_{y} = v \cdot sen θ$ Por tanto las componentes ${\vec{v}}_{x}$ y ${\vec{v}}_{y}$ son:

${\vec{v}}_{x} = v \cdot \cos θ \cdot \vec{i}$ ${\vec{v}}_{y} = v \cdot sen θ \cdot \vec{j}$ de manera que el vector $\vec{v}$ lo podemos expresar como:

$\vec{v} = {\vec{v}}_{x} + {\vec{v}}_{y} = v \cdot \cos θ \cdot \vec{i} + v \cdot sen θ \cdot \vec{j}$

Ideas clave

➯ Cualquier vector $\vec{v}$ del plano se puede escribir como suma de sus componentes cartesianas ${\vec{v}}_{x}$ (en la dirección del eje $X$ ) y ${\vec{v}}_{y}$ (en la dirección del eje $Y$ ): $\vec{v} = {\vec{v}}_{x} + {\vec{v}}_{y}$ .
➯ Si $\vec{v}$ tiene módulo $v$ y argumento $θ$ , entonces sus componentes cartesianas son: ${\vec{v}}_{x} = v \cdot \cos θ \cdot \vec{i}$ y ${\vec{v}}_{y} = v \cdot sen θ \cdot \vec{j}$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Si $\vec{v} = {\vec{v}}_{x} + {\vec{v}}_{y}$ , ¿es cierto que $v = v_{x} + v_{y}$ ?

Al dibujar el vector $\vec{v}$ y sus componentes ${\vec{v}}_{x}$ y ${\vec{v}}_{y}$ vemos que, por el teorema de Pitágoras, los módulos de estos tres vectores verifican:

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}

Por tanto, en general

v \neq v_{x} + v_{y}