Suma de vectores

Una operación que realizaremos con mucha frecuencia cuando trabajemos con vectores es la suma. En esta apartado veremos cómo se suman vectores, primero geométricamente (es decir, de manera gráfica) y después analíticamente (es decir, utilizando valores numéricos).

Gráficamente

Existen dos métodos para obtener gráficamente la suma de vectores: la regla del paralelogramo y el método del polígono. Si se suman solo dos vectores es muy habitual utilizar la regla del paralelogramo; el método del polígono resulta muy cómodo cuando se suman más de dos vectores.

Regla del paralelogramo

Representa los dos vectores con el mismo origen (recuerda, son vectores libres y por tanto no importa dónde estén situados). Este punto será también el origen del vector suma.
Por el extremo del primer vector traza una paralela al segundo.
Por el extremo del segundo vector traza una paralela al primero.
El punto donde se cortan estas paralelas es el extremo del vector suma.
Representa el vector suma desde su origen hasta su extremo.

Suma de vectores mediante la regla del paralelogramo.

Método del polígono

Escoge un vector para empezar (cualquiera de ellos: la suma de vectores es conmutativa, así que el orden no importa).
Sitúa el siguiente vector de manera que su origen coincida con el extremo del primero.
Repite el paso anterior con los restantes vectores (es decir, coloca el origen de cada uno en el extremo del anterior).
Para obtener el vector suma, une el origen del primer vector con el extremo del último.

Suma de vectores mediante el método del polígono.

Analíticamente

Acabamos de ver cómo se suman gráficamente dos o más vectores. Pero si conocemos las coordenadas de los vectores que queremos sumar no es necesario que los representemos para obtener su suma. Basta con tener en cuenta lo siguiente: si \((a_x,a_y)\) son las coordenadas del vector \(\vec{a}\) y \((b_x,b_y)\) son las coordenadas del vector \(\vec{b}\), entonces \(\vec{a}+\vec{b}\) es un vector cuyas coordenadas son:

\[\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)\]

Fácil, ¿no? La coordenada \(X\) de la suma es la suma de las coordenadas \(X\) de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\), y lo mismo con la coordenada \(Y\).

Suma analítica de vectores.

Diferencia de vectores

¿Y si en vez de sumar dos vectores queremos restarlos? Una resta no es más que una suma… así que ya sabemos cómo debemos proceder: para hallar la resta del vector \(\vec{a}\) menos el vector \(\vec{b}\) lo que hay que hacer es sumar al vector \(\vec{a}\) el opuesto de \(\vec{b}\). Por tanto, si \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) y \(\vec{b}=(b_x,b_y)\), entonces \(\vec{a}-\vec{b}\) será:

\[\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(\vec{-b})=(a_x,a_y)+(-b_x,-b_y)=(a_x-b_x,a_y-b_y)\]

Para obtener gráficamente la diferencia de \(\vec{a}-\vec{b}\) procederemos de igual manera:

Representa los vectores \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\).
Representa el opuesto de \(\vec{b}\), \(-\vec{b}\) (recuerda: mismo módulo, misma dirección y sentido contrario).
Aplica la regla del paralelogramo o la del polígono para sumar los vectores \(\vec{a}\) y \(-\vec{b}\).

Para hallar la diferencia \(\vec{a}-\vec{b}\), suma al vector \(\vec{a}\) el opuesto de \(\vec{b}\).

Ejemplo
Dados dos vectores \(\vec{a}=(-2,2)\) y \(\vec{b}=(4,1)\), halla su suma y su diferencia.

Solución:
\[\vec{a}+\vec{b}=(-2,2)+(4,1)=(-2+4,2+1)=(2,3)\] \[\vec{a}-\vec{b}=(-2,2)-(4,1)=(-2-4,2-1)=(-6,1)\]

Para pensar
¿Cómo harías para sumar tres vectores? ¿Y cuatro?

Ideas clave

➯ Para sumar gráficamente dos vectores se utiliza la regla del paralelogramo o el método del polígono.
➯ Para restar dos vectores, se suma al primero el opuesto del segundo: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)
➯ La suma de los vectores \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) y \(\vec{b}=(b_x,b_y)\) es \(\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y)\).
➯ La diferencia de los vectores \(\vec{a}=(a_x,a_y)\) y \(\vec{b}=(b_x,b_y)\) es \(\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y)\).

Ejercicios

Ejercicio 1

Suma analíticamente los vectores \(\vec{v}=(−4,5)\) y \(\vec{w}=(0,3)\). Comprueba gráficamente el resultado.

\(\vec{v}+\vec{w}=(−4,8)\)

Ejercicio 2

Halla la resta de los vectores anteriores, analítica y gráficamente.

\(\vec{v}-\vec{w}=(-4,2)\)

Ejercicio 3

Suma los siguientes tres vectores: \(\vec{a}=(1,5)\), \(\vec{b}=(−4,2)\) y \(\vec{c}=(0,−1)\).

\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=(−3,6)\)

Ejercicio 4

Si \(\vec{v}\) es un vector de módulo \(1\) y \(\vec{w}\) es un vector de módulo \(3\), ¿cuáles son el mayor y el menor valor que puede tomar el módulo de \(\vec{v}+\vec{w}\)?

El mayor valor de \(|\vec{v}+\vec{w}|\) es \(4\), y se da cuando \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) tienen la misma dirección y el mismo sentido. El menor valor de \(|\vec{v}+\vec{w}|\) es \(2\), y se da cuando \(\vec{v}\) y \(\vec{w}\) tienen la misma dirección y sentido contrario.

Física con Sage

Si necesitas información sobre el lenguaje SageMath o sobre cómo funcionan las celdas Sage, ve al apartado SageMath del menú principal.

Programa #1
Este programa calcula la suma y la resta de dos vectores.

Programa #2

Modifica el programa anterior para obtener la suma de tres vectores.

# --------- DATOS ------------
# Vector a
ax = -2
ay = 2
# Vector b
bx = 4
by = 1
# Vector c
cx = 0
cy = -1
# ---------------------------

# Coordenadas de la suma
sx = ax + bx + cx
sy = ay + by + cy

# Salida por pantalla
print("Vector a =",(ax,ay))
print("Vector b =", (bx,by))
print("Vector c =", (cx,cy))
print("Vector suma =", (sx,sy))