Definición de producto escalar

Dicho esto, veamos cómo se obtiene ese número. Por definición, el producto escalar de los vectores \(\vec a\) y \(\vec b\) se obtiene multiplicando el módulo del primer vector por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman ambos vectores. Es decir:

\[\vec a·\vec b=|\vec a|·|\vec b|·\cos\alpha\]

donde \(\alpha\) es el ángulo que forman \(\vec a\) y \(\vec b\).

El producto escalar de dos vectores se obtiene multiplicando el módulo del primero por el módulo del segundo por el coseno del ángulo que forman.

Ejemplo
\(\vec a\) y \(\vec b\) son dos vectores de módulo \(2\) y \(5\), respectivamente, que forman entre sí un ángulo de \(60^\circ\). ¿Cuánto vale su producto escalar?

Solución:
Como \(|\vec a|=2\), \(|\vec b|=5\) y \(\alpha=60^\circ\), entonces el producto escalar de \(\vec a\) y \(\vec b\) es:

\[\vec a·\vec b=|\vec a|·|\vec b|·\cos\alpha=2·5·\cos60^\circ=2·5·\frac12=5\]

Para pensar
El producto escalar de dos vectores es conmutativo. ¿Cómo lo puedes demostrar?

Condición de perpendicularidad

Vamos a analizar dos situaciones para extraer una importante conclusión.

Cálculo del producto escalar

De acuerdo con la definición, para poder calcular el producto escalar debemos conocer el ángulo que forman entre sí los vectores. Esto supone un gran problema, ya que la mayor parte de las veces lo que conocemos de ambos vectores son sus coordenadas, y no el ángulo que forman. Pero la solución a este problema es muy sencilla, ya que el producto escalar de los vectores \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\) y \(\vec b=b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k\) se puede calcular así:

\[\vec a·\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z\]

Es decir, multiplicamos la coordenada \(X\) de \(\vec a\) por la coordenada \(X\) de \(\vec b\), la coordenada \(Y\) de \(\vec a\) por la coordenada \(Y\) de \(\vec b\), la coordenada \(Z\) de \(\vec a\) por la coordenada \(Z\) de \(\vec b\), y sumamos estos productos. Mucho más práctico, ¿no?

Ejemplo 1
Calcula el producto escalar de los vectores \(\vec a=\vec i+\vec j+\vec k\) y \(\vec b=−2\vec i+\vec k\).

Solución:
Aplicando la expresión anterior el producto escalar de \(\vec a\) y \(\vec b\) será:

\[\vec a·\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=1·(-2)+1·0+1·1=-1\]

Ejemplo 2
Busca un vector que sea perpendicular a \(\vec v=\vec i+\vec j+\vec k\).

Solución:
Buscamos un vector \(\vec w\) de coordenadas \((a,b,c)\), es decir, un vector \(\vec w=a\vec i+b\vec j+c\vec k\), que sea perpendicular a \(\vec v\). Multiplicando escalarmente los vectores \(\vec v\) y \(\vec w\) obtenemos:

\[\vec v·\vec w=(\vec i+\vec j+\vec k)·(a\vec i+b\vec j+c\vec k)=a+b+c\]

Por la condición de perpendicularidad este producto escalar debe ser cero. Por tanto:

\[a+b+c=0\]

Es decir, cualquier vector \(\vec w\) de la forma \(\vec w=a\vec i+b\vec j+c\vec k\) en el que sus coordenadas verifiquen la relación \(a+b+c=0\) será perpendicular al vector \(\vec v\). En consecuencia, hay infinitas soluciones; por ejemplo:

\[\begin{array}{c} a=0,\;b=1,\;c=-1 \;\Rightarrow\; \vec w=\vec j-\vec k \\ a=1,\;b=0,\;c=-1\;\Rightarrow\; \vec w=\vec i-\vec k \\ a=-1,\;b=1,\;c=0\;\Rightarrow\; \vec w=-\vec i+\vec j \\ a=1,\; b=1,\; c=-2\;\Rightarrow\; \vec w=\vec i+\vec j-2\vec k \end{array}\]

Todos estos vectores son perpendiculares al vector dado.

Ángulo entre dos vectores

Imagina que tenemos dos vectores \(\vec a=a_x\vec i+a_y\vec j+a_z\vec k\) y \(\vec b=b_x\vec i+b_y\vec j+b_z\vec k\) y que queremos saber cuál es el ángulo que forman. En la definición del producto escalar interviene el ángulo que forman los vectores, así que vamos a utilizarla. Sabemos que \(\vec a·\vec b=|\vec a|·|\vec b|·\cos \alpha\) y, por tanto, el ángulo que forman ambos vectores es:

\[\cos \alpha= \frac {\vec a·\vec b}{|\vec a|·|\vec b|} \;\Rightarrow\; \alpha= \arccos \frac {\vec a·\vec b}{|\vec a|·|\vec b|}\]

Como conocemos las coordenadas de \(\vec a\) y \(\vec b\) podemos calcular sus módulos sin problema. Y como ya sabemos hallar el producto \(\vec a·\vec b\) en función de las coordenadas de los vectores, el problema está resuelto:

\[ \alpha= \arccos \frac {\vec a·\vec b}{|\vec a|·|\vec b|} =\arccos\frac {a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{|\vec a|·|\vec b|}\]

El ángulo que forman dos vectores se obtiene a partir del producto escalar de dichos vectores.

Ejemplo
Halla el ángulo que forman los vectores \(\vec a=-\vec i+\vec j\) y \(\vec b=−2\vec i+3\vec j+\vec k\).

Solución:
Primero calculamos los módulos de ambos vectores:

\[\vert\vec a\vert=\sqrt{{(-1)}^2+1^2+0^2}=\sqrt2\] \[\vert\vec b\vert=\sqrt{{(-2)}^2+3^2+1^2}=\sqrt{14}\]

El producto escalar de \(\vec a\) y \(\vec b\) es:

\[\vec a·\vec b=(-1)·(-2)+1·3+0·1=5\] Aplicando la definición de producto escalar y sustituyendo obtenemos:

\[\vec a·\vec b=|\vec a|·|\vec b|·\cos\alpha \;\Rightarrow\; \cos \alpha= \frac {\vec a·\vec b}{|\vec a|·|\vec b|}=\frac {5}{\sqrt2·\sqrt{14}}\] Por tanto, el ángulo es:

\[\alpha=\arccos\frac {5}{\sqrt2·\sqrt{14}}=19,1^\circ\]

Ideas clave

Ejercicios

Física con Sage

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Programa #1
Este programa calcula el producto escalar de dos vectores dadas sus coordenadas.

Modifica el programa anterior de manera que, además, muestre el ángulo que forman ambos vectores (recuerda que Sage siempre trabaja con los ángulos en radianes).

# ---------- DATOS -----------
# Vector a
ax = 1
ay = 1
az = 1

# Vector b
bx = -2
by = 0
bz = 1
# -----------------------------

# Módulo de los vectores
modulo_a = sqrt(ax^2 + ay^2 + az^2)
modulo_b = sqrt(bx^2 + by^2 + bz^2)

# Producto escalar
productoEscalar = ax*bx + ay*by + az*bz

# Ángulo que forman
angulo_rad = arccos(productoEscalar/(modulo_a*modulo_b))
angulo_gra = angulo_rad*180/pi

# Salida por pantalla
print("a =", (ax,ay,az))
print("b =", (bx,by,bz))
print("|a| =", modulo_a)
print("|b| =", modulo_b)
print("a·b =", productoEscalar)
print("Ángulo que forman a y b:", n(angulo_gra), "grados")