Vectores en el espacio

Hasta ahora los vectores con los que hemos trabajado eran vectores del plano. En consecuencia solo había dos dimensiones involucradas, $X$ e $Y$ . Pero para que los vectores puedan describir fenómenos que suceden en nuestro mundo tridimensional necesitamos incluir una tercera dimensión, $Z$ .
Afortunadamente, las características y operaciones en el plano se pueden generalizar de manera muy sencilla a los vectores en el espacio. Solo hay que tener en cuenta que en el espacio un vector necesita tres coordenadas para quedar definido: $(v_{x}, v_{y}, v_{z})$ . En consecuencia, a los vectores unitarios $\vec{i}$ y $\vec{j}$ del plano tenemos que añadirle un tercer compañero: el vector $\vec{k}$ . Este vector, por analogía con $\vec{i}$ y $\vec{j}$ , es el vector unitario en la dirección del eje $Z$ y sentido positivo. Así, los vectores unitarios en la dirección positiva de los ejes $X$ , $Y$ y $Z$ , son, respectivamente:

$\begin{matrix} \vec{i} = (1, 0, 0) \\ \vec{j} = (0, 1, 0) \\ \vec{k} = (0, 0, 1) \end{matrix}$

Los vectores unitarios en el espacio. Pincha sobre la imagen y arrastra el cursor para girarla.

Cualquier vector en el espacio se puede escribir en función de los vectores unitarios $\vec{i}$ , $\vec{j}$ y $\vec{k}$ de la siguiente manera:

$\vec{v} = (v_{x}, v_{y}, v_{z}) = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j} + v_{z} \vec{k}$

Mira por ejemplo el vector

\vec{v} = \vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}

(haz clic en la imagen y arrastra para ver el vector desde distintos ángulos):

Vector $\vec{i} + 2 \vec{j} + 3 \vec{k}$ .

Otra consecuencia de añadir la tercera dimensión es que el módulo de este vector será ahora:

$| \vec{v} | = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}}$

Por lo que respecta a las operaciones con vectores, simplemente hay que añadir la coordenada $Z$ y proceder de la misma manera que en el caso de dos dimensiones.

Ideas clave

➯ $\vec{i} = (1, 0, 0)$ es el vector unitario del espacio en la dirección del eje $X$ y sentido positivo.
➯ $\vec{j} = (0, 1, 0)$ es el vector unitario del espacio en la dirección del eje $Y$ y sentido positivo.
➯ $\vec{k} = (0, 0, 1)$ es el vector unitario del espacio en la dirección del eje $Z$ y sentido positivo.
➯ Cualquier vector $\vec{v} = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ se puede escribir como $\vec{v} = v_{x} \vec{i} + v_{y} \vec{j} + v_{z} \vec{k}$ .

Ejercicios

Ejercicio 1

Halla el vector cuyo extremo es el punto $(3, 1, 2)$ y cuyo origen es el punto $(0, 2, 0)$ .

$3 \vec{i} - \vec{j} + 2 \vec{k}$

Ejercicio 2

Calcula el módulo del vector $\vec{v} = - 2 \vec{i} + \vec{k}$ .

$| \vec{v} | = \sqrt{5}$

Ejercicio 3

Suma los siguientes vectores en el espacio: $\vec{v} = \vec{i} + \vec{k}$ y $\vec{w} = \vec{j} + 3 \vec{k}$ .

$\vec{v} + \vec{w} = \vec{i} + \vec{j} + 4 \vec{k}$

Ejercicio 4

Dado el vector $\vec{a}$ de coordenadas $(0, 3, - 1)$ , halla los vectores $- \vec{a}$ , $2 \vec{a}$ y $\frac{1}{3} \vec{a}$ .

$- \vec{a} = - 3 \vec{j} + \vec{k}$
$2 \vec{a} = 6 \vec{j} - 2 \vec{k}$
$\frac{1}{3} \vec{a} = \vec{j} - \frac{1}{3} \vec{k}$

Ejercicio 5

Halla el vector unitario de la misma dirección y sentido que el vector $\vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ .

$\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{3}} \vec{i} + \frac{1}{\sqrt{3}} \vec{j} + \frac{1}{\sqrt{3}} \vec{k}$