Componentes de un vector

Como acabamos de ver, una manera muy habitual de expresar un vector \(\vec{v}\) es especificando por separado qué parte del vector corresponde al eje \(X\) (\(v_x\)) y cuál al eje \(Y\) (\(v_y\)):

\[\vec{v}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}\]

Teniendo esto en cuenta, muchas veces en Física escribiremos los vectores de la siguiente manera:

\[\vec{v}=\vec{v}_x+\vec{v}_y\]

donde:

\[\vec{v}_x=v_x \cdot \vec{i}\] \[\vec{v}_y=v_y \cdot \vec{j}\]

Es decir, el vector \(\vec{v}\) es la suma de los vectores \(\vec{v}_x\) y \(\vec{v}_y\), que tienen la dirección del eje \(X\) y del eje \(Y\), respectivamente (por tanto, son perpendiculares entre sí). A estos vectores \(\vec{v}_x\) y \(\vec{v}_y\) les llamamos componentes del vector \(\vec{v}\).

Lo que estamos haciendo al escribir \(\vec{v}=\vec{v}_x+\vec{v}_y\) es descomponer el vector en la suma de otros vectores que están situados sobre los ejes cartesianos. Por ese motivo a estas componentes también se les llama componentes cartesianas del vector.

Las componentes del vector \(\vec{v}\) son \(\vec{v}_x\) y \(\vec{v}_y\).

No confundas \(\vec{v}_x\), que es la componente del vector \(\vec{v}\) en la dirección del eje \(X\) (y es, por tanto un vector), con \(v_x\), que es el módulo de dicha componente (es decir, es un escalar). Lo mismo sucede con \(\vec{v}_y\), la componente del vector en la dirección del eje \(Y\), y \(v_y\), su módulo.

Ejemplo
Si \(\vec{v}\) es un vector de módulo \(v\) y argumento \(\theta\), ¿cuáles son sus componentes cartesianas?

Solución:
Como vimos anteriormente (Cálculo de las coordenadas de un vector dados su módulo y su argumento), \(v_x\) y \(v_y\) son, respectivamente:

\[v_x=v·\cos \theta\] \[v_y=v·\operatorname{sen} \theta\] Por tanto las componentes \(\vec{v}_x\) y \(\vec{v}_y\) son:

\[\vec{v}_x=v \cdot \cos \theta \cdot \vec{i}\] \[\vec{v}_y=v \cdot \operatorname{sen} \theta \cdot \vec{j}\] de manera que el vector \(\vec{v}\) lo podemos expresar como:

\[\vec{v}=\vec{v}_x+\vec{v}_y=v \cdot \cos \theta \cdot \vec{i} + v \cdot \operatorname{sen} \theta \cdot \vec{j}\]